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16如果素数p和整数a互素,按照费马小定理(a^(p-1)-1)/p是一个整数,这个比值被定义成a模p的费马商q_p(a),a是它的基底
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2边长为a, b, c的三角形,如果半周长(a+b+c)/2设为p,那面积S和内径r可以用海伦公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)与内径公式r=S/p算出来 (1)证明对任何正整数n,存在以两两互素的正整数a, b, c为三边,内切圆半径为n的三角形 (2)对给定的n,这样的三角形周长最大可以是多少?
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1n为正整数,A和B是n阶方阵,A的第i行第j列a_(i, j)等于i和j的所有(正)公因数之和,B的第i行第j列b_(i, j)等于i和j的最大公因数 求证:(1) |A| = n! (2) |B| = φ(1)×φ(2)×…×φ(n),其中φ(m)是欧拉函数
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6有人知道吗,我只知道设p,2p,3p点点点中ab是其中一个数
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11申请人:@蔸蔸白 申请感言:选一个试试
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3我正在做初等数论及其应用的课后习题,有一道题是判断非负有理数集合是不是良性的,答案说不是,可是我觉得这就是良性的,集合最小值为零啊,所以有没有人告诉我为什么说不是啊
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7Wolstenholme定理的一种形式是对素数p≥5,1+1/2+1/3+…+1/(p-1)通分后的分子能被p²整除 Leudesdorf定理是对这个结论的推广,将素数p推广到任意正整数n,结论中分数的分母相应地变成1~n中所有与n互素的正整数 其中一种证明方式是分别讨论n的每种素因子p整除通分后分子的幂次,同样要对p≥5或p=2, 3分类讨论
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53的n次方减1等于2的u次方*5的v次方,如何证明只有一组正整数解?
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14初等数论问题集-A3 问题A3:设正整数a、b使得(ab+1)整除(a2+b2),证明:(a2+b2)/(ab+1)是完全平方数。
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4A72:求满足下列条件的所有非负整数对(n,p):①p是素数②n<2p③[(p-1)^n+1]可以被n^(p-1)整除
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18证明:对于任意正整数a、n,都存在正整数k满足n | a^k+k (2023 年第6期《中等数学》)
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2初等数论问题集A1: 问题A1:x、y、z都是正整数,证明:(xy+1)(yz+1)(zx+1)是完全平方数,当且仅当(xy+1)、(yz+1)、(zx+1)都是完全平方数。
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4初等数论问题集-A56 问题A56:a、b、c是三个整数,并且满足(a+b+c)∣(a2+b2+c2)。证明:存在无穷多个正整数n,使得(a+b+c)∣(an+bn+cn)。
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1初等数论问题E11 : 1772年欧拉发现当n=0,1, 2, 3, .. 39时多项式n^2 +n+41的值都是质数,求证.存在40个连续正整数n的值使得多项式n^2 +n+ 41的值都是合数。
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2求最小的正整数m,使得m^2-m+11是四个质数(不一定相同)的乘积.
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10求所有函数 f:N→N,对所有自然数 m 和 n 都满足 f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2且 f(1)>0
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28如果p, q是不相等的奇素数,那它们之间的二次剩余Legendre符号满足 (p/q)×(q/p) = (-1)^((p-1)(q-1)/4) 它相当于: ① 若p≡1(mod 4)或q≡1(mod 4),则当p R q时q R p,当p N q时q N p ② 若p≡q≡3(mod 4),则当p R q时q N p,当p N q时q R p
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91. 如果素数p>3,a是不超过2p/3的最大整数,证明 1-1/2+1/3-…+ (-1)^(a+1)/a 的分子是p的倍数 2. 设n, m是正整数,求证: n! | (mⁿ-1)(mⁿ-m)(mⁿ-m²)…(mⁿ-m^(n-1)) 3. 设n是正整数,k是正奇数,求证: 1+2+3+…+n | 1^k+2^k+3^k+…+n^k 4. 数列{a(n)}满足,对任意正整数n,n的所有因数d₁, d₂, …, d(k) 总满足 a(d₁)+a(d₂)+…+a(d(k))= 2ⁿ 求证 : n | a(n) 5. 如果某三个正整数a, b, n满足 n^b-1 | n^a+1 (n≥2) 证明 n^b-1 只可能等于1, 2, 3 6. 设n是正整数,a, b是整数,求证: n! | a×(a+b)×(a+2b)×…×(a
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2用C(n, m)=n! / (m!(n-m)!)表示组合数或者二项式系数(0≤m≤n) 若p是大于3的素数,非负整数a, b满足0≤a≤b,非负整数t满足 p^t || ab(b-a) 则C(pb, pa)≡C(b, a) (mod p^(3+t)) 更强一些,如果非负整数f满足p^f || ab(b-a)C(b, a) 则C(pb, pa)≡C(b, a) (mod p^(3+f))
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26如果用C(n, m)= n!/ m!(n-m)! 表示组合数或者二项式系数 ⑴ Lucas定理: 设p是素数,非负整数m, n, a, b, c, d 满足m = a×p+c,n = b×p+d,0 ≤ c, d ≤ p-1 ① 若 a≤b 且 c≤d,则C(n, m)≡C(b, a)×C(d, c) (mod p) ② 若 a>b 或 c>d,则C(n, m)≡0 (mod p) ⑵ Wolstenholme定理: 设p是素数,非负整数m, n, a, b满足m = a×p, n = b×p,a≤b 则 C(n, m)≡C(b, a) (mod p³)
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4给定ax+by+cz=n,abc两两互素,abcn为正整数, 这时非负整数解个数f(n)=((n+a+b+c)n+R)/(2abc) 正整解个数g(n)=((n-a-b-c)+R)/(2abc) 舍去R,就是近似公式,则误差是R/(2abc),R≠0,相对小的abc,R/(2abc)→0,当g(n)或f(n)整除时R=2abc 计算时根据abc的不同误差项R/(2abc)也很大!如325x+503y+2024z=2024503325非负整数或正整数解都误差比较大 即R/(2abc)≈46个 R(正整数)=30193617675 R(非负整数)=30570058675 g(n)=6193619628 f(n)=6193637079
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6抽屉原理的英文名 pigeonhole principle,直译是鸽巢原理 完全是一个组合数学的原理,即使对数论的定理没有任何了解,只靠抽屉原理也可以很快很快就解决很多数论问题
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19已知正实数a,β,y δ,若对任意 n∈N,都有 [lbk]αn[rbk][lbk]βn[rbk]=[lbk]γn[rbk][lbk]δn[rbk], 且{a,β}≠{γ,δ},证明:αβ=γδ,且α,β,γ,δ 为正整数.
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24初等数论问题集-A51 问题A51:a,b,c,d是奇数,0<a<b<c<d,且ad=bc。证明:如果存在整数k、m使得a+d=2^k,b+c=2^m,则a=1。1问题A48:n是一个正整数,则1/3+1/5+...+1/(2n+1)不是整数97最小正剩余: 对任何正整数m和任何整数a,总存在唯一一个不超过m的正整数n满足n≡a(mod m),正整数n叫作a模m的最小正剩余 Gauss引理: 如果整数a与奇素数p互素,并且a, 2a, …, (p-1)a/2 这(p-1)/2个数模p的最小正剩余中一共有μ个大于p/2 那 Legendre符号(a/p)= (-1)^μ6设p是奇素数, a是整数 如果(a, p)=1, a R p,令Legendre符号(a/p)= 1 如果(a, p)=1, a N p,令Legendre符号(a/p)= -1 如果p ℓ a,令Legendre符号(a/p)=0 Euler准则: a^((p-1)/2)≡(a/p) (mod p)2初等数论问题集-A23 问题A23:(Wolstenholme定理)p是大于3的素数,将1+1/2+1/3+...+1/(p-1)表示成为分数的形式,则它的分子是p2的倍数。4求所有正整数a,b,c,使(2^a-1)(3^b-1)=c!433