顶

找不到

这么久都没人来解，是不是太繁琐了？
说说我的解法：
首先此题无纯策略纳什均衡。
再分析所有的混合策略：
甲上中下 ——> 乙一二三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲上中下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
（箭头表示：假设有混合策略上中下对一二时，甲会改变策略为下，因此不是均衡。以下同）
甲上中下 ——> 乙一三 ——> 经计算无解，非均衡
甲上中下 ——> 乙二三 ——> 甲中下 ——> 非均衡
甲上中 ——> 乙二 ——> 甲下 ——> 非均衡
甲上下 ——> 乙一二三 ——> 经计算无解，非均衡
甲上下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
甲上下 ——> 乙一三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲上下 ——> 乙二三 ——> 甲中下 ——> 非均衡
甲中下 ——> 乙一二三 ——> 乙一三 ——> 非均衡
甲中下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
甲中下 ——> 乙一三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲中下 ——> 乙二三 ——> 乙一三 ——> 非均衡
分析：
1. 甲上中下 对 乙一二三 ：
设甲选上的概率为x，选中的概率为y，选下的概率为1-x-y；乙选一的概率为a，选二的概率b，为选三的概率为1-a-b。
甲的期望=6a+6b+8(1-a-b)=3a+7b+9(1-a-b)=7a+9b-2(1-a-b)
解得：一=1/4 二=29/52 三=5/26 甲的期望=83/13≈6.385
乙的期望=12x+8y+5(1-x-y)=13x+8y=5x+7y+11(1-x-y)
解得：y=29/23 无合理解。由于乙选一二三的期望不相等，那么此混合策略非均衡。
2. 甲上下 对 乙一三 ：
设甲选上的概率为x，选下的概率为1-x；乙选一的概率为a，选三的概率为1-a。
甲的期望=6a+8(1-a)=7a-2(1-a)
乙的期望=12x+5(1-x)=5x+11(1-x)
解得：
一=10/11 三=1/11 甲的期望=68/11≈6.182
上=6/13 下=7/13 乙的期望=107/13≈8.231
3. 甲中下 对 乙一三 ：
设甲选中的概率为y，选下的概率为1-y；乙选一的概率为a，选三的概率为1-a。
甲的期望=3a+9(1-a)=7a-2(1-a)
乙的期望=8y+5(1-y)=7y+11(1-y)
解得：
一=11/15 三=4/15 甲的期望=23/5=4.6
中=6/7 下=1/7 乙的期望=53/7≈7.571
当乙选一三时，甲选上下的期望比选中下高，因此甲会选择上下。
结论：
此博弈只有一个纳什均衡，为混合策略甲上下对乙一三。甲选上的概率为6/13，选下的概率为7/13；乙选一的概率为10/11，选三的概率为1/11。

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顶这个，里面有具体的混合策略均衡算法，博弈论的入门基础
但这个不是你的解法，而就是混合策略的均衡解法
不是每个矩阵游戏都有纯测率的均衡点，但都会有混合测率的均衡点
吧里多数人没有系统学过博弈理论，所以解不开这个很正常，但是学了后就是算术题而已
推广的话，一个简单的 2x2 游戏会更容易让人明白怎么得出混合策略均衡点
（2，1），（0，0）
（0，0），（1，2）


刚才简单作了下，但有些想不起来了
其实基础原理很简单，就是把个三元方替代成两个二元二次方，然后各个解决
6p1 + 6p2 + 8(1-p1-p2) = 3p1 + 7p2 + 9(1-p1-p2)
6p1 + 6p2 + 8(1-p1-p2) = 7p1 + 9p2 - 2(1-p1-p2)
12q1 + 8q2 + 5(1-q1-q2) = 13q1 + 8q2 + 0(1-q1-q2) (q123 代表上中下)
12q1 + 8q2 + 5(1-q1-q2) = 5q1 + 7q2 + 11(1-q1-q2)
这些很好解决，但我忘了怎么把 p q 控制在 0和1 以内！实在是太久了，n年前学得，隐约记得是需要个重新调整的方法，但忘了具体
有时间我好好看看旧书，再来给个具体方案

今天又翻了下书，想明白了，这个题手算不好算，因为其中你要猜可以解方程的答案，就因为你的答案必须控制在 0和1 以内！
要解这个需要用线性编程，用maple，mathematica,或 matlab 这类的软件，（excel我弄了下但答案没出来！）把7楼方程写进去，外加两个限制 p和q 小于或等于1，大于或等于0，然后让它自动搜索答案。
可以知道的是，楼主在4楼给的答案不行！简单可以证明，看乙方
12(q1=10/11) + 8（q2=0）+ 5(1/11) = 11,35..
13(q1=10/11) + 8（q2=0) + 0(1/11)= 11,81..
5(q1=10/11)+ 7（q2=0)+ 11(1/11) = 5,54..
也就是说，用这个混合策略的话，乙方的这三个策略的收益总和不对等，违背了基础设定


这种有戏中，像你给出的这个两人游戏 3x3 很多情况下是没有纯策略的均衡点，简单说就是没有一个点两个人都能接受的。所谓的混合策略是，每个玩家选择给每个策略选择一个概率。目标是，每个策略的效用总和是一样的！因为玩家在选择这个概率的时候是不偏袒的！
意思就是说，玩家甲的策略上的效用分别是，x6，y6，z8，这个总和是 ？
甲的策略中的效用是，x3，y7，z9，这个总和是？
甲的策略下的效用是，x7，y9，z-2，这个总和是？
因为你不知道对方会选择什么，只知道对方在每个的选择上有个未知的概率，就是x,y,z！所以要做到不偏袒你某个策略，你要想办法让这三个效用总和对等，就是你预期的收益得要对等！这就是一个三元三次方程，你要得出你自己三个策略的概率，互相利用对方的效用条件！
但三元方不好解，所以在你知道你的策略概率总和为1的时候，你可以利用 策略3=1-策略1-策略2的办法来消元，这样就成为了二元二次方程，解起来就简单了
我不知道说的这儿你能不能明白，这个你因该看看专业的书，解释肯定比我好，混合策略虽然是博弈论入门，可想要彻底明白它并不容易
我再纠正下我楼上的错误
12(p1=6/13) + 8（p2=0）+ 5(7/13) = 8,23..
13(p1=6/13) + 8（p2=0) + 0(7/13)= 6
5(p1=6/13)+ 7（p2=0)+ 11(7/13) = 8,22..
这个答案其实比较靠近真相了！
为什么说不是均衡呢，就是因为在对方得知你给的三个策略的概率分布后，它的收益不对等，也就是说你在得知对方的三个策略概率分布后，收益总和不对等！这是有偏袒，所以
违背了混合策略的基础设定


我4楼已经分析过了,甲上中下 对 乙一二三时没均衡:
再贴来:
设甲选上的概率为x，选中的概率为y，选下的概率为1-x-y；乙选一的概率为a，选二的概率b，为选三的概率为1-a-b。
甲的期望=6a+6b+8(1-a-b)=3a+7b+9(1-a-b)=7a+9b-2(1-a-b)
解得：一=1/4 二=29/52 三=5/26 甲的期望=83/13≈6.385 (二元一次方程只有一组解)
乙的期望=12x+8y+5(1-x-y)=13x+8y=5x+7y+11(1-x-y)
解得：y=29/23 无合理解(二元一次方程只有一组解)。由于乙选一二三的期望不相等，那么此混合策略非均衡。
你用通式来解任意3×3博弈的方法是不对的.
因为,有些博弈三对三是没有均衡的.由于有一些策略没有选择,这些策略的收益为0,必然和选择的策略的收益不相等.
通式把不选择的策略和选择的策略的收益划等号,一开始就错了.
3×3博弈可能有多个混合策略均衡.
只要双方各方所选策略的收益相等,且改变策略不能增加收益,那么就不会改变策略,那么这个策略就是纳什均衡.
就本题而言,只有一个纳什均衡.

这是我刚编的3*3博弈,你看能纳什均衡是什么?这个博弈比上题简单很多.我想用这个博弈反驳你的算法.
@红发自如


建议楼主在列表格的时候
先把构成上述模型的情况和规则列出来
楼主的模型里 利益分配并不均等
通俗的说 就是 楼主的模型里 两个人争的蛋糕 不同的策略
蛋糕的总分量却是忽大忽小的 不知道楼主的博弈模型中 分量变小的规则在哪里
第三方受益者在哪里

通常来说 混合策略的均衡 我一般会将其视为 三人博弈
即：可更改策略的双方共同对抗 不进行策略改变的第三方 同时也尽力的保证自己的利益
因此 在对抗环节中 会出现针对第三方的 最优解和最差解 博弈的平衡主要在这里
第一题的结果是（6,13）
第二题的结果是（3,2)


这里 由于 甲和乙的策略收益 是非对称的 因此 不适用于纳什均衡的 对称抗衡策略
我们可以这么分析
若甲采用 上策略 那么乙的最佳策略是 二策略
若乙采用 二策略 那么甲的最佳策略是 中策略
若甲采用 中策略 那么乙的最佳策略是 一策略
若乙采用 一策略 那么甲的最佳策略是 下策略
若甲采用 下策略 那么乙的最佳策略是 三策略
若乙采用 三策略 那么甲的最佳策略是 上策略or中策略
若甲采用 上策略 那么乙的最佳策略是 二策略
若甲采用 中策略 那么乙的最佳策略是 一策略
因此 构成一个循环博弈
但是从最终收益所产生的优先策略来看
甲的策略优先选择顺序
（中，二）（4,0）
（上，二）（3,2）
（下，一）（2,1）
（下，二）（2,0）
（中，一）（1,2）
（中，三）（1,1）
（上，三）（1,1）
（下，三）（0,3）
（上，一）（0,1）
乙的策略优先选择顺序
（下，三）（0,3）
（上，二）（3,2）
（中，一）（1,2）
（下，一）（2,1）
（中，三）（1,1）
（上，三）（1,1）
（上，一）（0,1）
（中，二）（4,0）
（下，二）（2,0）
根据无名氏定理 即在重复博弈中，只要博弈人具有足够的耐心，那么在满足博弈人个人理性约束的前提下，博弈人之间就总有多种可能达成合作均衡。
因此 这里的均衡点 有多处
即 最优均衡点 （上，二）（3,2）
即 最差均衡点 （中，三）（1,1）or（上，三）（1,1）


题目1 答案： 甲（0,1,0） 乙（0,0.8462,0.1538）
题目2 答案： 甲（0,2/3,1/3） 乙（1/2,0,1/2）
这虽然只是一个简单的3*3 双矩阵博弈，但是并没有想象的求解起来这么简单，是不能用单纯的纯策略方法求解的，必须转化成优化模型后，采取优化计算方法来计算。