1、证明多项式 1+3x, 1+3x+5x^2, 1+3x+5x^2+7x^3, .... 都在有理数域上不可约.
2、证明多项式 1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n 模任何素数都可约当且仅当n形如8k(k+1), 这儿k为正整数.
3、对每个大于1的整数n, 都有无穷多个整数b>n使得 1+2*b+3*b^2+...+n*b^{n-1} 为素数, 而且最小的这样的b小于12*n^2.
4、对于n=5,6,..., 下面这个具体的代数方程 x^n+3*x^{n-1}+5*x^{n-2}+...+(2n-1)*x+2n+1 = 0 不是根式可解的.
5、任给一段相继素数p_m,...,p_n (p_k表示第k个素数), 证明有无 穷多个整数b>p_n使得b进制数 [p_m,...,p_n] = sum_{k=m}^n p_k*b^{n-k} 为素数, 而且最小的这样的b不超过(n+1)(m+n+1). 例如: 十进制的[2,3,5]为235=5*47, 这是个合数; 但八进制的[2,3,5]为2*8^2+3*8+5 =157, 这是个素数.
说明：能完整做对第1、2两题者，将是全世界本科数学生的佼佼者，能完整做对第3题者将跻身数学家之列，能完整做对第4题者将有机会获得国际数学大奖，能完整做对第5题者将会成为世界一代数学宗师。