最近在各大网站上整理比较高端的数学笑话，其中有一个笑话如是说：
The Yoda embedding, contravariant it is.

其中的Yoda embedding是什么呢？经过仔细的搜索，我终于确定了目标，原来就是星球大战中的尤达大师！

这毕竟是一个数学笑话，将数学与尤达大师联系起来的，就是米田嵌入(Yoneda embedding),也称为“米田引理”。
什么是米田引理呢？从维基百科上得来的讯息可知它是范畴论里比较重要的一个定理，具体的阐述如下（摘自维基）
设C为范畴，定义函子范畴如下：


定义函子


其中而

米田引理声称：存在自然的同构

看到这些符号，我不禁头晕脑胀。对于没有学过范畴论的我来说，压力实在太大。所以我退而求其次，在SE以及MO之类的网站上进行了一些搜索与总结。我对这样一个引理有些个人理解。
什么是米田定理背后的深意？其实这种方法在很多领域内都有用到，那就是“test principle”。Ravi Vakil提到，在粒子物理里，如果在加速器旁的工作者如果对一个神秘的，不可捉摸的粒子感兴趣。他们通常的做法是拿已知的粒子与这个“神秘粒子”进行交互，在所有粒子与所有能量都试过之后，这样一种“神秘粒子”的形态也就能被复原出来了。
这样的思想在其他地方中也有所体现。比如说一个很常见的数分问题：

其实也就是这样思想的体现。把一个函数与原函数相乘，积分后有一组信息，而根据这组信息就能够还原出原来的函数了。
在范畴论里，这样与一个“范畴”的“交互”，也就是前面所说的Hom_C(-,X),就可以看作是这样一个过程。这种表述被称为是“协变”的。而与之相对地，这个定理的另外一个方面，也就是从Hom_C(X,-)可以恢复出所有信息的方法被称为“反变”的。

尤达大师与这个定理又有什么关系呢？
我们知道，Yoneda（米田）以及Yoda像是一对兄弟，所以Yoda大师就不幸成为了数学家调侃的对象。同时尤达大师还喜欢说话时把一些词倒过来说，这也是数学家们想到了“反变”，也就是“contravariant it is”。
“反变”似乎要比“协变”更难以理解，似乎是“我们能够从神秘粒子撞击到哪些粒子来知道神秘粒子的形态”！也就是说，我们能够通过“粒子放射物”来判断粒子了。
一个“反变函子”会将交换图表的箭头反向，因此相对难以理解（我就没怎么理解。。）下面我就谈谈这个定理的协变表述在其他方面的一些类比。

对于偏序集中，我们把集合看成范畴，a≤b当且仅当a→b,其他情况则a与b间无态射。那么在这样一个问题中，米田引理说明了，一个数的大小取决于所有小于或等于它的数！这也就是著名的戴德金分割了。同理也可以对它大的数进行讨论。
米田引理在这里的另外一种说法是，a≤b <=> (c≤a => c≤b)
而更多的例子，限于Lz水平未能看懂，只能在最后的链接部分给出。

以上例子也给了我一些启发。
“范畴”就犹如C++里面的模板，只有在客户端给出实例化之后才会执行。而这样一个米田引理“变成”的戴德金分割和凯莱定理恰恰说明了这一点。也许它同样也有方法“变成”前面我所提到的那个积分的例子呢！
这也是范畴论数学家们的期望。他们希望把整个数学的规律变成一个“模板”，只需要往模板里塞入具体的“对象”，执行这样一个模板，一个个定理就能够诞生了。恰如前面的凯莱定理，就是米田引理的一个推论，类似的推论我们还能够进行：
1)如果将一个群作用在自身，那么得到一个n元置换群
2)如果将一个有单位元的域作用于自身，那么它得到的是一个E的子域，E为其相关加法群
3)如果将一个k-代数作用于自身，那它就是一个Mn(k)的子代数。而特别地说，这也能够给出C作为在R上的矩阵代数以及四元数在C或R上的矩阵代数。
4)如果将李代数作用与自身，不巧是，这个作用不一定是忠实的。所以你只能得到Ado定理的初等阶段，也就是将李代数嵌入到矩阵代数内。
5)而最后，如果你把范畴“作用”于自身（一般来说A作用B也就是Hom(B,A),恰好就像我们前面说的粒子物理的例子！），这就给出了米田嵌入Fun(C^op,Set)，而将范畴一般化为前面的特点的例子就得到了结果。

但是范畴论的“范畴”是否是这样“模板化”中最“抽象类”的东西呢？
这是一个从最具象到抽象的过程，似乎是“没有最抽象，只有更抽象”的。比如说环是群的一种特殊形式，而群又是幺半群的一种特殊形式。而这些群的范畴，等价关系，拓扑空间的基本拟群都从属于拟群范畴。
同样的，在各个范畴里面，乘积，余积，极限，余极限，拉回，推出在各个范畴的构造都不一样，但是抽象的定义却是相同的，这就导致了一种东西，叫做“universal object”，也就是“泛对象”。
但是“泛对象”真的就是最普遍的吗？它只是从老的范畴中建立的新范畴内的始对象和终对象。
终对象也不是太“一般”，它不过是我们所在的范畴的反范畴中的始对象。
范畴也不是很一般，它只是“n-范畴”的一个特殊形式。
。。。

支持楼主，谢谢楼主给我这个初学者展示了别样的风景！