求助！一道关于费马点的证明题【数学吧】

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求助！一道关于费马点的证明题

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求教！在锐角三角形中，如何证明当费马点和垂心重合时，这个三角形一定是等边三角形？

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IP属地:辽宁

1楼2014-10-30 14:00回复

熟知费马点120°

来自Android客户端2楼2014-10-30 14:02

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垂心的三线坐标是sec A : sec B : sec C（不为直角三角形）
费马点的三线坐标是csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)（最大角小于120°）
若两点重合则坐标对应成比例
即
secA/csc(A + π/3)=secB/csc(B + π/3)=secA/csc(B + π/3)
只需证f(x)=sec(x)/csc(x+ π/3)是单射即可
而化简可得f(x)=(tan(x)+√3)/2显然在0~120°内是单射，于是f(x)=f(y)可推的x=y，这样就能推出A=B=C
然后再稍微讨论一下最大角大于120°时就好了

IP属地:美国

3楼2014-10-30 14:46