Poncelet大定理
Hart引理
当直线l0与二次曲线Q和Q'交于P1、P2和P3、P4四点，相应的切线为l1、l2和l3、l4，将li和lj的交点记为Pij，则P12、P23、P34、P41必定位于某条由Q和Q'所确定的二次曲线上。
证明:设li的方程式是li=0，
则Q的解析式是l02=al1l2，Q'的解析式是l02=bl3l4，其中a、b是常数。
于是，就可以构造另外的二次曲线Q"，它由Q和Q'所给出，方程式是cl1l2=dl3l4(其中c、d是常数)，且P12、P23、P34、P41均在Q"上。
由于上面的过程可逆，故Hart引理的逆定理也成立。
Poncelet闭合定理
如果存在某个n边形，满足要求:即内接于二次曲线Q，又外切于二次曲线Q'。那么，从Q上任意点出发，均有满足要求的n边形。
证明:设A1A2……AnAn+1是满足要求的n边形(注意，An+1=A1)，
从Q上另一点B1出发，构造满足要求的折线B1B2……BnBn+1(即:Bi都在Q上，且BiBi+1都与Q'相切)，
那么，由Hart引理可知，所有直线AiBi与二次曲线Q"相切，而Q"由Q和Q'所确定。
考虑B1向A1靠拢，于是所有的Bi都同时向Ai逼近，最后，直线BiAi变成了Ai处的切线，Q"变成了Q。
由此看来，Bn+1=B1。