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求大神解释《曲线积分的基本定理》
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花香一清晨
全微分
9
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对于曲线积分的基本定理的一个疑惑。曲线积分的基本定理给出了曲线积分与路径无关的一个充分条件,由势场和势函数的关系得出曲线积分与路径无关,并给出了曲线积分由势函数计算的公式,曲线积分的基本定理的平面G没有要求是单连通域,是否意味着复连通域也成立,也就是G内不存在奇点的可能,也就是要P,Q存在连续偏导,怎么推导出这个条件?难道势场的概念隐含这个条件?求教大神。
smiler2046
线积分
11
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P,Q在G内连续,则区域G一定是单连通区域!
夸克
高考
数学
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2024-10-15 07:52
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辟邪九剑
幂级数
7
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这个定理的使用条件是,区域上连续,而且各偏导数不能同时为零。如果各偏导数同时为零,那么这些地方的变化方向就不确定了。多元微分涉及到几何的,很多定义都是不能是单点,这样方向不定,不能用偏导数;奇点的方向也是不定的,所以不能用偏导数。单联通区域的话其实这这样排除的的:单连通区域的边界必须是包含在里面的,这样边界就能求偏导数,而且不会同时为零。对于复连通情况,你可以这样考虑:定义被不同的边界分割,可以把这些边界看成不同的曲线,或者说是多个不同的(参数方程的话是多个方程组),这样这些曲线都是连续的,或者说边界没有任何一个点偏导数同时为零。总结一下,用偏导数不能处理奇点的原因是边界对可导的依赖太强,但是你用柯西公式就不用担心,这也是复变函数好的地方。还有一个原因是正则参数曲线能用参数方程去表示,对于一条不相交的曲线来说,参变量和每个分量是微分同胚(连续、可微、双射,可逆连续),但是自身相交就不行,因为交点偏导数不唯一。
水瓶rtyfgh
实数
1
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是要单连通,前面有说G是单连通。
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