建议分块

不可逆就强行搞成可逆的
考虑A+εIn 只有有限ε会使A+εIn行列式为0
所以存在h＞0 当|ε|<h时 有A+εIn必可逆
因此当ε趋近于0时 依然满足对称性 考虑到A+εIn关于ε连续 因此必有A对称

注意到AA^T是半正定的，利用正交相似标准型可证，并且A是唯一的

楼主是个大一狗，刚刚开始学线性代数此题颇难，据说是87年第一届全国大学生数学竞赛2试第一道代数题目……

为方便起见，用A'代表A的转置
U={A'x}代表A的行向量生成空间
V={x|Ax=0}为A的核空间，代表所有和A的行向量正交的向量
于是可以看成对于任意向量x,它在U,V空间中正交投影u,v满足x=u+v(正交分解)
于是我们只要证明对于U,V中的任意向量u,v都有A'u=Au,A'v=Av就可以证明A'=A.
对于任意u in U,存在x使得u=A'x,于是u'A'=x'AA'=x'AA=u'A,所以Au=A'u
而对于任意v in V, Av=0,所以v'AA'v=v'AAv=0,所以||A'v||=0,所以A'v=0,所以A'v=Av
得证