考虑一个简单的模型。假设灯丝电阻与温度的关系为R(T),环境温度稳定为T0,灯泡与环境的热流近似正比于温差,系数为D。当达到平衡时,产生等于散热,故
U^2/R(T)=D(T-T0)
即
R(T)=U^2/D·1/(T-T0)
若R(T)随T总是单调上升的,那么由于等号右边在T>T0时是单调递减的且值域为正实数集,因此上式在T>T0的范围内有唯一解(而显然T<=T0时无解)。
现假设D不变而U变化,则T可以看成是U的一个隐函数。由隐函数定理,对上式求导可得
R'(T)·dT/dU=2U/D·1/(T-T0)-U^2/D·1/(T-T0)^2·dT/dU
或
(R'(T)+U^2/(D(T-T0)^2))·dT/dU=2U/D·1/(T-T0)
由于上式左边大于0,R随T单调递增从而R'(T)>0,故R'(T)+U^2/(D(T-T0)^2)>0,可得dT/dU>0,因此T随U单调递增。