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求大佬解决一个关于p群的问题
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王Damon
半群
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假设一个群|G|=P^k, k=k1+k2+....+kt, k1小于等于k2,小于等于k3,以此类推。
然后G=Zp^k1 * Zp^k2 *......*Zp^k3
如何证明在G中的元素的数量(元素的阶为P)就等于 -1+P^t
shift_functor
半群
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首先,你要弄明白有限循环p-群的p-阶元的个数为p-1;
其次,你可设G由a_1,a_2,……,a_t生成,且a_i元的阶为p^{k_i}。
然后,设b_i:= (a_i)^{p^{k_i-1}},即b_i是p阶元。那么G中p阶元都是如下形式
(b_1)^{l_1}(b_2)^{l_2}……(b_1)^{l_t},
其中l_1,l_2,……l_t取遍0,1,2,……,p-1。
故总共有p^t个,但是要排除掉全部取0的情况(这种情况是就是单位元1)。
所以p阶元总共有p^t-1。
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