题错了 若m整除n且m≥3就不成立了 正确的题目应该把里面的一个-1改成+1

谢谢！那改过后该怎么证呢？

用反证法 假设一个指数p同时整除2^m+1和2^n-1 设x是2模p的指数 由于p整除2^m+1 所以p整除2^2m-1 所以2m是x的倍数且m不是x的倍数 所以x是2的倍数 这与n是x的倍数矛盾 所以原结论成立

可以证明(2^n-1,2^m-1)=2^p-1
其中p=（n,m）,即n和m的最大公约数。
若n=km+r，那么2^n-1=2^(km+r)-1= (2^m-1+1)^k ×2^r-1 =2^r-1 mod (2^m-1)
可知 (2^n-1,2^m-1)=(2^m-1,2^r-1)
辗转相除即可得到(2^n-1,2^m-1)=2^(n,m)-1