Sylow第一定理
设G为有限群，p为素数，则G必有Sylow p-子群。
Sylow第二定理
设H为有限群G的一个Sylow p-子群，则
{G的Sylow p-子群}={gHg^(-1) : g∈G}
任意G的p-子群K，必有g∈G使K包含在gHg^(-1)中。
Sylow第三定理
设G为群，|G|=p^a m,(p,m)=1.让n_p表示G的Sylow p-子群个数，则对G的任意一个Sylow p-子群H有
n_p=[G : N_G(H)]
n_p|m,且n_p≡1(mod p)

● 证明:pq阶群为循环群，其中p,q为素数。
○ 由Sylow定理知存在正规的p阶子群P以及正规的q阶子群Q。那么这两个子群都是循环群，设x∈P为生成元，y∈Q为生成元。由于P交Q是子群，阶数整除p和q，故P交Q是{e}.那么x,y不等。考虑x,y的换位子，因为P正规，[x,y]=x^(-1) (y^(-1) x y)∈P，同理[x,y]∈Q，故[x,y]=e,yx=xy.设xy的阶为n，则(xy)^n=x^n y^n=e,x^n=y^(-n).x^n∈P,y^(-n)∈Q,故x^n=e,p|n.y^(-n)=y^n=e,q|n.n≤pq，那么n=pq.故G=<xy>.

● 设G为p^2q阶群，其中p,q为不同素数，则G必有正规的Sylow p-子群或正规Sylow q-子群，从而G不是单群。
○ 假设Sylow p-子群的个数n_p大于1，根据Sylow第三定理知n_p｜q且n_p≡1(mod p).从而n_p=q≡1(mod p),p<q.如果H为G的q阶子群，则x∈H\{e}的阶均为q，如果x∈G，则H=<x>为q阶子群。n_q为Sylow q-子群个数，设G_i(i=1,...,n_q)为全部q阶子群，则Gi\{e}(i=1,...,n_q)两两不相交，则｜所有Gi\{e}的并｜=n_q(q-1).如果n_q=p^2,则G中非q阶元个数为p^2 q-p^2(q-1)=p^2,注意Sylow p-子群中元为全部非q阶元，则此时n_p=1.如果n_q=p,则n_q≡1(mod q),由上知p<q,故矛盾。