如图
O为△ABC外接圆圆心
延长BP交⊙O于点E
延长CP交⊙O于点F
易见
∠PAC+∠CBA=90
故
A,P,O共线
又
∠ECF=30
故
△EOF为等边三角形
∠FCO=3α-α=2α=∠FOA
故
△FCO∽△FOP
FE^2=FO^2=FP×FC
因此
△FEP∽△FCE
∠FCB=∠FEB=∠FCE=30

第二题

如图
O为△ABC外心
∠ACP+∠ABC=90
故C,O,P共线
延长BD交⊙O于点D
在⊙O上取点E使∠DAE=30
F为AE与PC交点
G为DF与⊙O交点
易见
∠DPF=30=∠DAF
故△DOE为等边三角形
APFD共圆
∠DFC=∠DAP=4α
而
∠DOC=2∠DBC=2α
故等腰△DOF∽△DGO
DE^2=DF×DG
因此
△DFE∽△DEG
∠ABD=∠AED=∠DGE=30

作者：哈尔滨 小李飞刀

这样一转，考虑△ADB，题3和题7等价

第三题和第一题等价的说明

如图
作△ABC外接圆， O为圆心
延长AP交 ⊙O于点D
连接DO交 ⊙O于点E
延长AE与BP交于点G
F为BG与 ⊙O交点
△AGC即对应于第一题的△BAC
点F对应于第一题图中点P

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第3题
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如图
BC上取点G使PG=PB
延长AP交△ABC外接圆于点K
作PE⊥BK，交BK于点E
作PF⊥CK交CK于点F
易见
∠PBK=60+α
∠PBK=30
∠BPE=∠GPC=∠GCP=30-α
PB/PC
=PB/PE×PE/PF×PF/PC
=PB/（2PE)×PE/PF
=PG/PC
故
PE=PF
∠PKB=∠PKF
AB=AC
∠ABP=30