试图看明白Dedushenko-Witten文章的数学意义，但是一年来并无太大进展，以下是个人所见，定有大量谬误，贻笑大方，如果有错请回复或私信。
1.1Wigner定理与BPS态（此章来源Neiztke的“What is a BPS state”）
在物理中的Wigner定理指的是庞加莱群的不可约表示代表了不同的粒子。在我的理解中，这应该指的是庞加莱群对空间的变换不改变实验的结果，那么它自然地就会对场论产生的Hilbert空间进行作用。Wigner证明了这样的作用一定是酉变换，因为它必须保持Hilbert空间内积不变。于是分类这样的不可约表示也即理解基本粒子的第一步。
庞加莱群的表示部分取决于Casimir元的作用，在庞加莱代数定义中的P与W分别定义了两种不变量：P^alpha P_alpha与 W^alpha W_alpha，前者代表了质量，后者代表了旋量。其实也不难理解：P是庞加莱群的R^(3,1)的生成元，质量也即移动的“困难程度”，而W是在同样质量的表示中的Wigner小群，自然就进一步分类了同一质量的不同不可约表示。
在希尔伯特空间中，我们还有别的一些有意思的不变量：比如在Maxwell理论中我们有电荷以及磁荷（且取值皆为整数），它们的存在是由Dirac量子化条件所保证的。于是我们的希尔伯特空间自然就分成了用磁荷和电荷所分类的直和 H= sum H_gamma, gamma是电荷或者磁荷
在普通的分类中，如果我们考虑单粒子，事情就简单了：首先分类电荷磁荷，然后考虑P作用上去的效果得到这个表示的质量，最后考虑庞加莱群中保持这样质量的子群（Wigner小群），而正巧这个小群是SO(3,R)，它的不可约表示皆可由半非负整数分类，于是我们就得到了一套分类的算法：某质量以及某半非负整数可以得到一种表示。
在更一般的分类中，我们还要考虑多粒子的情况，我们可以使用SO(1,3)将其变换为质心参考系，此时P的作用可以是任意大于M1+M2的质量，这个质量取决于原参考系的相对动量。于是对于同一质量的双粒子系统，我们可能有一个连续的不可约表示分类。而双粒子乃至多粒子系统对于之后的“穿墙”（Wall-Crossing）效应的解释至关重要。
.
1.2 超对称叙事
在超对称中我们有超庞加莱群，而与原来的庞加莱群不同的是，庞加莱群有“奇偶”之分。超对称的意思是在原来的实数下引入新的Grassmann数，使得它们的互相反交换。偶的庞加莱群将不会改变一个坐标的性质，也即它们将一个实数还是变成实数，Grassmann数变成Grassmann。但是奇的庞加莱群则会“互换性质”，于是超对称下不仅仅有原来的庞加莱群（包含在偶庞加莱群中），也有更多奇怪的东西混在里面。
在d=4，N=1的情况下偶的超对称代数包含Poin(1,3)+C,最后一项C还是超对称群的中心化子，它于是被称为“中心荷”（Central Charge）称为Z。而我们同样考虑之前的分类：
首先我们通过P得到质量M的表示，之后通过Wigner小群得知小群是so(3)+S^1, 其中so(3)还是之前的旋转，而S^1则是奇的庞加莱群中的不变子群，而它们又恰为某个Clifford代数，且作用由M-|Z|的大小表示，如果M-|Z|<0则没有酉表示，M-|Z|=0,某些算子只能为0，被称为“短表示”，该表示在SO(3)的作用下这个Clifford代数为2V_0+V_{1/2},而在M-|Z|>0的情况下，则称为“长表示”，由Clebsh-Gordan法则得知是（2V_0+V_{1/2}）*(2V_0+V_{1/2})=5V_0+4V_{1/2}+V_{1}。这里乘积是张量积。
这里M-|Z|=0的情况最为特殊，而一般Wigner小群的不可约表示可以由它的偶部分的不可约表示张量乘上短表示或者长表示。如果乘的是短表示它被称之为“BPS态"，在一个理论产生的希尔伯特空间中，我们首先由某些类似Dirac的电荷的整数，分类H_gamma，然后可以找到每个H_gamma中旋量j的 BPS态的个数 n_j(gamma)。
那么问题来了，我们为什么需要BPS态？
因为我们可以利用“BPS数”来刻画不同质量（或更多条件变化）下的某些不变量，而这个不变量恰好是non-perturbative的，可以用来刻画某个量子场论的非扰动的性质。Ω(gamma)= sum (-1)^(2j) *(2j+1)* n_j(gamma)则是称为“BPS数”
在d=4，N=2的叙事中，超对称代数包含了更多内容（R-charge）有su(2)_R+u(1)_R,因此其Clifford代数可以被进一步刻画，而我们可以定理所谓的Refined-BPS数。
1.1Wigner定理与BPS态（此章来源Neiztke的“What is a BPS state”）
在物理中的Wigner定理指的是庞加莱群的不可约表示代表了不同的粒子。在我的理解中，这应该指的是庞加莱群对空间的变换不改变实验的结果，那么它自然地就会对场论产生的Hilbert空间进行作用。Wigner证明了这样的作用一定是酉变换，因为它必须保持Hilbert空间内积不变。于是分类这样的不可约表示也即理解基本粒子的第一步。
庞加莱群的表示部分取决于Casimir元的作用，在庞加莱代数定义中的P与W分别定义了两种不变量：P^alpha P_alpha与 W^alpha W_alpha，前者代表了质量，后者代表了旋量。其实也不难理解：P是庞加莱群的R^(3,1)的生成元，质量也即移动的“困难程度”，而W是在同样质量的表示中的Wigner小群，自然就进一步分类了同一质量的不同不可约表示。
在希尔伯特空间中，我们还有别的一些有意思的不变量：比如在Maxwell理论中我们有电荷以及磁荷（且取值皆为整数），它们的存在是由Dirac量子化条件所保证的。于是我们的希尔伯特空间自然就分成了用磁荷和电荷所分类的直和 H= sum H_gamma, gamma是电荷或者磁荷
在普通的分类中，如果我们考虑单粒子，事情就简单了：首先分类电荷磁荷，然后考虑P作用上去的效果得到这个表示的质量，最后考虑庞加莱群中保持这样质量的子群（Wigner小群），而正巧这个小群是SO(3,R)，它的不可约表示皆可由半非负整数分类，于是我们就得到了一套分类的算法：某质量以及某半非负整数可以得到一种表示。
在更一般的分类中，我们还要考虑多粒子的情况，我们可以使用SO(1,3)将其变换为质心参考系，此时P的作用可以是任意大于M1+M2的质量，这个质量取决于原参考系的相对动量。于是对于同一质量的双粒子系统，我们可能有一个连续的不可约表示分类。而双粒子乃至多粒子系统对于之后的“穿墙”（Wall-Crossing）效应的解释至关重要。
.
1.2 超对称叙事
在超对称中我们有超庞加莱群，而与原来的庞加莱群不同的是，庞加莱群有“奇偶”之分。超对称的意思是在原来的实数下引入新的Grassmann数，使得它们的互相反交换。偶的庞加莱群将不会改变一个坐标的性质，也即它们将一个实数还是变成实数，Grassmann数变成Grassmann。但是奇的庞加莱群则会“互换性质”，于是超对称下不仅仅有原来的庞加莱群（包含在偶庞加莱群中），也有更多奇怪的东西混在里面。
在d=4，N=1的情况下偶的超对称代数包含Poin(1,3)+C,最后一项C还是超对称群的中心化子，它于是被称为“中心荷”（Central Charge）称为Z。而我们同样考虑之前的分类：
首先我们通过P得到质量M的表示，之后通过Wigner小群得知小群是so(3)+S^1, 其中so(3)还是之前的旋转，而S^1则是奇的庞加莱群中的不变子群，而它们又恰为某个Clifford代数，且作用由M-|Z|的大小表示，如果M-|Z|<0则没有酉表示，M-|Z|=0,某些算子只能为0，被称为“短表示”，该表示在SO(3)的作用下这个Clifford代数为2V_0+V_{1/2},而在M-|Z|>0的情况下，则称为“长表示”，由Clebsh-Gordan法则得知是（2V_0+V_{1/2}）*(2V_0+V_{1/2})=5V_0+4V_{1/2}+V_{1}。这里乘积是张量积。
这里M-|Z|=0的情况最为特殊，而一般Wigner小群的不可约表示可以由它的偶部分的不可约表示张量乘上短表示或者长表示。如果乘的是短表示它被称之为“BPS态"，在一个理论产生的希尔伯特空间中，我们首先由某些类似Dirac的电荷的整数，分类H_gamma，然后可以找到每个H_gamma中旋量j的 BPS态的个数 n_j(gamma)。
那么问题来了，我们为什么需要BPS态？
因为我们可以利用“BPS数”来刻画不同质量（或更多条件变化）下的某些不变量，而这个不变量恰好是non-perturbative的，可以用来刻画某个量子场论的非扰动的性质。Ω(gamma)= sum (-1)^(2j) *(2j+1)* n_j(gamma)则是称为“BPS数”
在d=4，N=2的叙事中，超对称代数包含了更多内容（R-charge）有su(2)_R+u(1)_R,因此其Clifford代数可以被进一步刻画，而我们可以定理所谓的Refined-BPS数。
