他的定义2写得太粗糙了，我想了一下应该是说存在一个映射满足那四条性质
但是问题又来了：如果存在多个这种映射，它们对应的切空间应该是同一个啊，这怎么证？
（我说请学过这本书的人来答，是因为他这本书的曲面定义什么的感觉跟其他书不一样……）


这样的映射肯定不能断定只有一个的，比如说他先是用曲面的定义，省略了一些中间过程的说明，构造出一个例子说明这种映射存在
但 是 他后面那个例子是用隐函数定理凑了一个参数方程出来，跟给出定义2之前那种构造方式完全不是一种做法

我仔细研究了一下他在定义2之前构造的那个具体的 曲面参数方程S的例子，
发现：
1.U（x0）可以推广到任何含于它的x0的领域
2.I n可以换成任何与它通过微分同胚一一对应的开集
并且对于这两种改动下的新的参数方程
可以证明他们导出的切空间是同一个
然而没有任何卵用 他后面的例子用隐函数定理强行凑了一个便于计算的参数方程出来
我们怎么知道这个凑出来的方程是不是经过这两种改动导出的，并且问题也搞复杂了

但是，如果这张图上说的东西没错，那么不管怎么凑，只要凑出来的参数方程满足①②③④，那么他算出来的切空间肯定是同一个

老铁，书上没毛病，你知道的不够，读的不仔细。

我又好好看了下后面那个例子的推导，其实是为了他形式上好看，绕回隐函数定理去了，然后又重复了一遍隐函数定理推反函数定理的细节……
由于我现在提的这个问题还不知道结果…我把他的证明过程改成用反函数定理叙述解决了，就是写起来麻烦点……
反正熬过这两节我必须换一本书了，前面还好理解，越写到后面他为了形式和观点整成意识流了
不禁让我想起以前看命题人讲座射影几何那本，黄老师把那些东西内化成初等的语言，但是又说得很简略，我看了很懵逼想去翻正儿八经的射影几何教材去查，结果都是些很一般化、抽象术语的内容，查不到……也就是说他想表达什么只有他自己和学神从他的书上才听得懂，其他地方搜不到
曲面、切平面也是，换一本普通的数学分析教材 或者换一本专门讲这个的微分几何，叙述又跟他这个不一样了……只有把正儿八经的这方面教材学过才知道他为什么能转述成他自己的版本…

今早肝炼金还没整理笔记，凑合着看8

这些地方书上为了省篇幅太依赖记号了
比如隐函数定理的证明，方程组在范围内等价实际上是集合相等的简化写法，集合相等本质上又是命题等价的简化写法 但是他的方程组等价写得过于随意了，比如y同时是f在某点的值，同时又是f在某个坐标系，即符合一个微分同胚后在某点的值，他就说“你看，他们都是y,所以相等” 实际上有一个构造复合函数然后证明函数在范围内恒等的细节步骤，他就直接省略了
将切平面的例子，有一个这种细微的集合相等关系，他也省略了，吧p-x跟h用同一个记号u表示，然后说这是个恒等式 或者没用的式子 其实意思是说这两个集合等价
还有之前比如泰勒公式两种形式(x-x0 =h)变上限函数可微的证明他也是过度依赖记号，省掉太多构造复合函数并且利用复合函数的大小o运算等细节 这样对于学物理的人确实是直观了，但是对于学数学来说真的把人坑惨了 我真的很赞同这本书使兼顾对物理学的学生友好

严格来说如果这样定义R^n中的光滑曲面和切空间的话，那肯定是要证一下切空间与映射t|->x的取法无关的。然而这一小节的主要目的是为了介绍拉格朗日乘子法而不是真的考虑R^n中的微分几何，而且本书后面又有专门的章节介绍流形，可能是因为这些原因略去了一些基本定理的证明。

好像压轴题。

你想象一下k=1和k=2的情形就理解了

我靠老哥我现在也栽在这里了，但倒也不必因此舍弃全书，你顺带在8楼喷的书中其他不妥的地方你并没有说清楚你在喷哪里，所以我们推测你自己也没有真的细致到验证你所说的那些细节，大概是比较浮躁的表现。（当然，我学卓里奇学到这也多次的出现浮躁的表现，因为看不懂而质疑书，又懒得自己细想，无能狂怒）
但有一处错误是确定的：定义1中定义k维曲面时说：对曲面上所有点，存在一个曲面上该点的邻域，使得从区间I_n到该邻域的微分同胚存在，并且。。。。。。
这样的说法蕴含着：I_n同胚于一个开集，所以I_n必须是欧氏空间中的开集，而定义中的I_n却说成是个闭区间，这一定是矛盾的。
但这大概是笔误。另外，在某个英译本（universitytext系列）中这里确实是小于号了，所以不必喷书。

对于参数形式，我明白了它就是一个微分同胚，只是只需要书中给出的很少的条件就可以推出它是微分同胚。实际上就是书中前面叙述参数形式为双射时，利用了反函数定理推出该结论时这整个过程的细节的挖掘。下面是证明：