《一站到底》英雄联盟新模式的战术选择问题【芝麻开门吧】

两条琴弦的弦音程之比越简单，和声越和谐——毕达哥拉斯琴弦定律。
2019年江苏卫视《一站到底》节目英雄联盟模式启用了新的规则，每场比赛有4组共8名选手出场，赛前每组选手都有5颗星，可自主决定如何分配。比赛分为两轮，第一轮8名选手捉对厮杀，由系统随机挑选选手，被选中的选手可在非同组选手中随机选择一人与之比赛，胜者赢得对方的星星，直到决出4名胜者；第二轮系统挑选一名勇士，从其他三个人当中自行选择对手通过轮流答题的方式比赛，如果星数少的一方出现了答不对题的情况，则把星星全部输给对手，比赛结束，如果星数多的一方出现了答不对题的情况，则按对方的星数把自己的部分星星输给对手，比赛继续，直到一方被淘汰，获胜者继续选择对手比赛，最终决出本场胜利者。
比如4组分别是A、B、C、D，8名选手分别是A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2，赛前A1、B1分别分配到4颗星，C1、D1分别分配到3颗星；如果比赛时A1胜C2，B1胜A2，D1胜C1，D2胜B2，则第二轮A1、B1、D1、D2分别带着6、5、6、3颗星比赛；如果系统选择了D1，则D1可在A1、B1当中选择对手比赛；如果D1选择了B1，则D1带着6颗星，B1带着5颗星比赛；如果B1先出现答不对题的情况，则D1赢得5颗星（此时一共有11颗星），B1被淘汰，反之B1赢得5颗星，比赛继续（此时B1有10颗星，D1有1颗星），如果随后D1出现了答不对题的情况，则D1被淘汰，反之D1赢得1颗星，比赛继续，直到分出胜负；如果B1获胜，则B1可在A1、D2中选择对手继续比赛，如果D1获胜，则D1直接跟A1比赛，直到决出本场胜利者。
本文探讨一下这种赛制下选手的战术选择。
本文的一切讨论的前提条件都是任何一名选手都能答对很多题，但也会出现答不对题的情况。
先说第一轮，首先在分配星星的时候，应该让实力更强的那个人拿更多的星星，不然如果对手选了实力较弱的那个人，会更容易获得更多的星星；在这个前提下，挑选对手是有战术的，因为你选择较强的对手获胜的概率比较低，但一旦获胜收益比较大，选择实力较弱的对手获胜收益比较小，但获胜的概率比较高；由于此时战术选择要因人而异，且你可能对其他选手的实力有了解，但不清楚实力更强的那个人手中有3颗星还是4颗星，所以分析起来意义不大，本文重点探讨第二轮。
第二轮时被选为勇士的人要挑选对手，而不同的人手中的星数不同，实力也不同，因此可能涉及战术选择。
先从最简单的情况分析：任意两个人（设为甲、乙）交手，甲、乙先出现答不对题的情况的概率都是50%，那么：
========以下内容可以跳过去========
如果甲、乙都有6颗星，则谁先出现答不对题的情况谁就会把星星全部输给对手，所以甲、乙获胜的概率都是1/2。
如果甲有6颗星，乙有3颗星，则有1/2的可能性是乙先出现答不对题的情况，甲一题获胜；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲有3颗星，乙有6颗星，【此时】乙获胜的概率正好等于【开始时】甲获胜的概率；设【开始时】甲获胜的概率为ρ，则ρ=1/2+(1/2)×(1-ρ)，解得ρ=2/3，则甲获胜的概率是2/3，乙获胜的概率是1/3。
如果甲有6颗星，乙有5颗星，则有1/2的可能性是乙先出现答不对题的情况，甲一题获胜；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲有1颗星，乙有10颗星，接下来有1/2的可能性是甲先出现答不对题的情况，比赛结束；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲有2颗星，乙有9颗星，接下来有1/2的可能性是甲先出现答不对题的情况，比赛结束；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲有4颗星，乙有7颗星，接下来有1/2的可能性是甲先出现答不对题的情况，比赛结束；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲有8颗星，乙有3颗星，接下来有1/2的可能性是乙先出现答不对题的情况，比赛结束；如果这种情况没有发生，则形势会变成了甲有5颗星，乙有6颗星，接下来有1/2的可能性是甲先出现答不对题的情况，比赛结束；【此时】乙获胜的概率正好等于【开始时】甲获胜的概率；设【开始时】甲获胜的概率为ρ，则ρ=1/2+(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)+(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1-ρ)，解得ρ=6/11，则甲获胜的概率是6/11，乙获胜的概率是5/11。
如果比到最后，甲有15颗星，乙有5颗星，则有1/2的可能性是乙先出现答不对题的情况，甲一题获胜；如果这种情况没有发生，则形势会变成甲、乙都有10颗星，一题决胜负，则甲获胜的概率是1/2+(1/2)×(1/2)=3/4，乙获胜的概率是1/4。
========可以跳过去的内容完========

========以下内容可以跳过去========
看一种具体情况：第二轮甲、乙、丙、丁分别有3、3、6、8颗星（如在赛前A1、B1分别分配到4颗星，C1、D1分别分配到3颗星的情况下，第一轮A1胜B1，B2胜C2，C1胜D1，D2胜A2），甲被选为勇士，则甲可以选择不同的交手顺序。
若甲先后和乙、丙、丁交手，战胜乙的概率为a，在战胜乙的前提下战胜丙的概率为b，在战胜乙、丙的前提下战胜丁的概率为c，则a=1-ρ，b=1-ρ；则甲最终获胜的概率（设为P1）为c(1-ρ)(1-ρ)。
若甲先后和丙、乙、丁交手，战胜丙的概率为d，在战胜丙的前提下战胜乙的概率为e，在战胜丙、乙的前提下战胜丁的概率为f，则f=c，e=1-ρ+ρρ（注：1-ρ为甲一题获胜的概率，ρρ为甲先出现答不对题的情况，乙变为先手，随后乙出现答不对题的情况的概率）；再看d，甲想要胜丙，需要带着3：6的星数比先手，让丙先出现答不对题的情况（概率为1-ρ），然后带着6：3的星数比先手战胜丙，设这种情况下先手方获胜的概率为x，则x=1-ρ+ρ(1-x)，解得x=1/(1+ρ)，则d=(1-ρ)x=(1-ρ)/(1+ρ)，则甲最终获胜的概率（设为P2）为c(1-ρρ)/[(1+ρ)(1+ρ-ρρ)]=c(1-ρ)(1-ρ+ρρ)/(1+ρ)。
注：设先手方在8：12的星数比的情况下获胜的概率为x，则x=(1-ρ)(1-ρ)+(1-ρ)ρ(1-x)，解得x=(1-ρ)/(1+ρ-ρρ)，则c=1-ρ+ρρx=(1-ρρ)/(1+ρ-ρρ)。
而P1=P2的条件为ρ=0或ρ=1/2或ρ=1，都与50%＜ρ＜1不符。
进一步计算，P1÷P2=[c(1-ρ)(1-ρ)]÷[c(1-ρ)(1-ρ+ρρ)/(1+ρ)]=(1-ρρ)/(1-ρ+ρρ)，而50%＜ρ＜1时，(1-ρρ)-(1-ρ+ρρ)=ρ-2ρρ=ρ(1-2ρ)＜0，且1-ρρ＞0，所以50%＜ρ＜1时,0＜(1-ρρ)＜(1-ρ+ρρ)，0＜P1÷P2＜1，P1＜P2。
========可以跳过去的内容完========
之所以是这样，是因为星数比不同，比赛的轮次数也不尽相同，比如星数比为1：1时任意一方出现答不对题的情况比赛就分出胜负了，星数比为3：1时想分出胜负可能需要出现一次，也可能需要出现两次答不对题的情况，星数比为2：1、4：1、5：1时理论上比赛可以无限进行下去（总是星多的人出现答题不对的情况）；而在先手方出现答题不对的情况的概率不是50%的情况下，分出胜负需要出现多少次答题不对的情况就会对勇士获胜的概率产生影响了。
========以下内容可以跳过去========
讨论一下什么情况下比赛理论上可以无限进行下去？
如果两个人的星数约去公因数之后总和是奇数（之所以要约去公因数，是因为对于任意x≠y的两个正整数x、y和任意a≠b的两个正整数a、b来说，ax颗星对bx颗星的情况和ay颗星对by颗星的情况是一样的），则两个人的星数无论如何也不可能相等，那么只要每次答不对题的情况都出现在星多的一方，比赛就能进行下去。
如果两个人的星数约去公因数之后总和是偶数，则此时两个人的星数都是奇数，而想让比赛进行下去，必须让下次答不对题的情况出现在星多的一方，那么两个人的星数都会变成偶数，如果不是1：1的话约去公因数，那么想让比赛进行下去，必须让下次答不对题的情况继续出现在星多的一方，那么两个人的星数都会再次变成偶数，如果不是1：1的话再次约去公因数，以此类推，那么：
如果开始时的约去公因数后两个人的总星数是2的k次幂倍（k为正整数），那么每次约去公因数都会让总星数除以2，k-1次约去公因数（不算开始时的约去公因数）之后总星数变为2，比赛不能无限进行下去。
如果开始时的约去公因数后两个人的总星数是2的k次幂倍乘以n（n为不是1的正奇数），那么每次约去公因数都会让总星数除以2，k次约去公因数（不算开始时的约去公因数）之后总星数变为n，情况和两个人的星数约去公因数之后总和是奇数的情况相同。
所以，如果两个人的星数约去公因数之后总和是2的正整数次幂倍，则比赛不能无限进行下去；其他情况则比赛理论上可以无限进行下去。
========可以跳过去的内容完========

而从甲、乙、丙、丁分别有3、3、6、8颗星的情况看，当50%＜ρ＜1时，按照乙、丙、丁的顺序交手如果一路获胜的话，会经历两次一开始就一题定胜负且自己先手的情况，比按照丙、乙、丁的顺序交手不利。
由此可见，在考虑先后手的情况下，勇士可能是有战术的。
但战术对比赛结果的影响很小，因为ρ的增大会同时影响不同的出战顺序里勇士获胜的概率（只是影响程度可能不同），且由于参加《一站到底》英雄联盟的选手答题水平较高，所以先后手对谁先出现答不对题的情况的影响不大，ρ接近0.5；仍然以这个星数比例为例，取ρ=0.527，则甲按照乙、丙、丁的顺序交手获胜的概率约为0.129，按照丙、乙、丁的顺序交手获胜的概率约为0.134，差别不大（当ρ=0.5时，甲获胜的概率是0.15）。
========以下内容可以跳过去========
注：解释一下为什么取ρ=0.527，以及为什么先后手对谁先出现答不对题的情况的影响不大。设对于任意一道题，一名选手知道其答案的概率都是η（0＜η＜1），则ρ=1-η+ηη(1-η)+ηηηη(1-η)+ηηηηηη(1-η)+……
而当项数趋近于无穷时，ρ的极限为1/(1+η)，且在0＜η＜1的范围内，η越小ρ越大；取η=0.9（对于参加《一站到底》英雄联盟的选手来说已经较小了），则ρ=10/19≈0.526，所以取ρ=0.527已经是往大处取了。
而ρ=0.527时，ρ和1-ρ的差距不是很大，所以先后手对谁先出现答不对题的情况的影响不大。
========可以跳过去的内容完========
再看另一种复杂一点的情况。选手水平有高有低，两名选手交手时即使忽略先后手的影响，双方先出现答不对题的情况的概率也不一定都是50%，甚至和50%相差较大。

========以下内容可以跳过去========
设甲为勇士，先后和乙、丙、丁交手时，战胜乙的概率为a，在战胜乙的前提下战胜丙的概率为b，在战胜乙、丙的前提下战胜丁的概率为c，最终获胜的概率为A；先后和丙、乙、丁交手时，战胜丙的概率为d，在丙战胜的前提下战胜乙的概率为e，在战胜丙、乙的前提下战胜丁的概率为f，最终获胜的概率为B；先后和丁、乙、丙交手时，战胜丁的概率为g，在战胜丁的前提下战胜乙的概率为h，在战胜丁、乙的前提下战胜丙的概率为i，最终获胜的概率为C。
在此前提下，看一种具体情况：甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，假设乙是高手，甲和乙、丙、丁交手时先出现答不对题的情况的概率分别是60%、50%、50%；而计算结果显示，不同的交手顺序下，甲获胜的概率可能是不同的：
a=1-3/5=2/5，b=12/(12+3)=4/5，c=15/(15+5)=3/4，A=(2/5)(4/5)(3/4)=0.24；
d=6/(6+3)=2/3，e=2/5+(3/5)(2/5)(2/5)(2/5)+(3/5)(2/5)(2/5)(3/5)e，解得e=274/589，f=15/(15+5)=3/4，B=(2/3)(274/589)(3/4)=137/589≈0.233；
g=6/(6+5)=6/11，h=198214/389329（计算过程从略），i=17/(17+3)=17/20，C=(6/11)(198214/389329)(17/20)=10108914/42826190≈0.236。
再看一种具体情况：甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，假设乙是低手，甲和乙、丙、丁交手时先出现答不对题的情况的概率分别是40%、50%、50%；而计算结果显示，不同的交手顺序下，甲获胜的概率也可能是不同的：
a=1-2/5=3/5，b=12/(12+3)=4/5，c=15/(15+5)=3/4，A=(3/5)(4/5)(3/4)=0.36；
d=6/(6+3)=2/3，e=3/5+(2/5)(3/5)(3/5)(3/5)+(2/5)(3/5)(3/5)(2/5)e，解得e=429/589，f=15/(15+5)=3/4，B=(2/3)(429/589)(3/4)=429/1178≈0.364；
g=6/(6+5)=6/11，h=300669/389329（计算过程从略），i=17/(17+3)=17/20，C=(6/11)(300669/389329)(17/20)=15334119/42826190≈0.358。
注：在这种情况下A低于B，但如果甲和乙交手时先出现答不对题的情况的概率为30%，则A=0.42，高于B（约0.41997，计算过程从略）；如果概率比30%还低，则A＞B且A、B的差距会比概率为30%的情况更大；所以甲安排先后顺序时，只考虑星数不一定能看出如何安排会让自己获胜的概率高。
再看一种具体情况：甲、乙、丙、丁分别有5、5、6、4颗星，假设乙是高手，甲和乙、丙、丁交手时先出现答不对题的情况的概率分别是60%、50%、50%；而计算结果显示，不同的交手顺序下，甲获胜的概率依然可能是不同的：
a=1-3/5=2/5，b=10/(10+6)=5/8，c=16/(16+4)=4/5，A=(2/5)(5/8)(4/5)=0.2；
d=5/(5+6)=5/11，e=2/5+(3/5)(2/5)(2/5)+(3/5)(2/5)(3/5)(2/5)=346/625，f=16/(16+4)=4/5，B=(5/11)(346/625)(4/5)=1384/6875≈0.201；
g=5/(5+4)=5/9，h=286/565（计算过程从略），i=14/(14+6)=7/10，C=(5/9)(286/565)(7/10)=1001/5085≈0.197。
========可以跳过去的内容完========

补充抽了的6楼。
由此可见不同的星数比之下，分出胜负需要出现多少次答题不对的情况不尽相同，而对一名选手来说，跟较强（或较弱）的对手一题还是多题决胜负对获胜的概率是有影响的；至于是提高还是降低，目前还看不出适用于各种情况的规律（比如上述甲、丙、丁水平相当，乙是低手的情况，即使已经确定勇士有几颗星，勇士的对手当中较强的选手和较弱的选手分别有几颗星，则较弱的选手的相对水平高低依然会决定A高还是B高，即甲按照乙、丙、丁的顺序交手获胜的概率更高还是按照丙、乙、丁的顺序交手获胜的概率更高）；但可以肯定的是，把星数少的对手放在前面不一定是个好战术。
由此可见，在考虑对手强弱的情况下，勇士也可能是有战术的；但一般情况下，战术对比赛结果的影响也很小；以甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，甲被选为勇士，乙是高手的情况为例，即使甲和乙交手时先出现答不对题的情况的概率为75%（这个概率已经比较大了），甲按照乙、丙、丁的顺序挑战获胜的概率为0.15，按照乙、丙、丁的顺序挑战获胜的概率约为0.136，按照丁、乙、丙的顺序挑战获胜的概率约为0.139，差别也不大（可以用其他星数检验一下）。
当然，以上结论不绝对适用——如果甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，甲被选为勇士，甲和乙、丙、丁交手时先出现答不对题的情况的概率分别是2%、50%、50%，那么甲按照乙、丙、丁的顺序交手获胜的概率为0.588，按照丙、乙、丁的顺序交手获胜的概率约为0.500，这就有明显的差别了；但即使乙只知道80%的题的答案，甲也需要知道约99.6%的题的答案才能让自己和乙交手时乙先出现答不对题的情况的概率成为2%，这即使能存在也属于极端情况，可以不考虑。
本文结论如下：
1.在《一站到底》节目英雄联盟模式启用了新的规则之下，第二轮被选为勇士的选手是有战术的，可以根据星数比例利用先后手不同或对手强弱不同做文章，让自己获胜的概率尽可能大，但在正常情况下战术对获胜概率的影响不大，且第二轮在很大程度上减少了一题决胜负的情况，减少了偶然性对比赛的影响；因此从考察选手硬实力的角度讲，新规则是比较好的规则。
2.有些人觉得第二轮被选为勇士的选手应该先挑战星数少的对手，但这点不一定成立。
3.“勇士”一词对新规则而言不适用，因为在旧规则下，当比赛进行到四名选手对决阶段时，勇士要连胜三个对手才能获胜，且每战胜一个对手，比赛就要重新开始（不存在把战胜第一个对手得到的星星带到跟第二个对手的对决的情况），因此假设四名选手答题水平相当，勇士获胜的概率只有约1/8；而新规则下，如果四名选手答题水平相当且星数相同，则勇士获胜的概率约为1/4，并不凶险。
最后补充一件有趣的事。我在计算时发现以下规律：1.星数本身对各种情况分析和概率计算没有影响，有影响的是星数比；2.星数之比比较简单时（如1：1、2：1、3：2），计算过程比较简单，结果的表达式也比较简单；3.星数之比为大整数比时（如17：3），计算过程比较复杂，结果的表达式也复杂；4.如果星数之比为大整数比，但可以近似看作1：1时（如8：7），计算过程也比较复杂，但这完全是因为存在复杂的情况，而复杂的情况不容易出现。毕达哥拉斯诚不欺我。

由此可见不同的星数比之下，分出胜负需要出现多少次答题不对的情况不尽相同，而对一名选手来说，跟较强（或较弱）的对手一题还是多题决胜负对获胜的概率是有影响的；至于是提高还是降低，目前还看不出适用于各种情况的规律（比如上述甲、丙、丁水平相当，乙是低手的情况，即使已经确定勇士有几颗星，勇士的对手当中较强的选手和较弱的选手分别有几颗星，则较弱的选手的相对水平高低依然会决定A高还是B高，即甲按照乙、丙、丁的顺序交手获胜的概率更高还是按照丙、乙、丁的顺序交手获胜的概率更高）；但可以肯定的是，把星数少的对手放在前面不一定是个好战术。
由此可见，在考虑对手强弱的情况下，勇士也可能是有战术的；但一般情况下，战术对比赛结果的影响也很小；以甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，甲被选为勇士，乙是高手的情况为例，即使甲和乙交手时先出现答不对题的情况的概率为75%（这个概率已经比较大了），甲按照乙、丙、丁的顺序挑战获胜的概率为0.15，按照乙、丙、丁的顺序挑战获胜的概率约为0.136，按照丁、乙、丙的顺序挑战获胜的概率约为0.139，差别也不大（可以用其他星数检验一下）。
当然，以上结论不绝对适用——如果甲、乙、丙、丁分别有6、6、3、5颗星，甲被选为勇士，甲和乙、丙、丁交手时先出现答不对题的情况的概率分别是2%、50%、50%，那么甲按照乙、丙、丁的顺序交手获胜的概率为0.588，按照丙、乙、丁的顺序交手获胜的概率约为0.500，这就有明显的差别了；但即使乙只知道80%的题的答案，甲也需要知道约99.6%的题的答案才能让自己和乙交手时乙先出现答不对题的情况的概率成为2%，这即使能存在也属于极端情况，可以不考虑。
本文结论如下：
1.在《一站到底》节目英雄联盟模式启用了新的规则之下，第二轮被选为勇士的选手是有战术的，可以根据星数比例利用先后手不同或对手强弱不同做文章，让自己获胜的概率尽可能大，但在正常情况下战术对获胜概率的影响不大，且第二轮在很大程度上减少了一题决胜负的情况，减少了偶然性对比赛的影响；因此从考察选手硬实力的角度讲，新规则是比较好的规则。
2.有些人觉得第二轮被选为勇士的选手应该先挑战星数少的对手，但这点不一定成立。
3.“勇士”一词对新规则而言不适用，因为在旧规则下，当比赛进行到四名选手对决阶段时，勇士要连胜三个对手才能获胜，且每战胜一个对手，比赛就要重新开始（不存在把战胜第一个对手得到的星星带到跟第二个对手的对决的情况），因此假设四名选手答题水平相当，勇士获胜的概率只有约1/8；而新规则下，如果四名选手答题水平相当且星数相同，则勇士获胜的概率约为1/4，并不凶险。
最后补充一件有趣的事。我在计算时发现以下规律：1.星数本身对各种情况分析和概率计算没有影响，有影响的是星数比；2.星数之比比较简单时（如1：1、2：1、3：2），计算过程比较简单，结果的表达式也比较简单；3.星数之比为大整数比时（如17：3），计算过程比较复杂，结果的表达式也复杂；4.如果星数之比为大整数比，但可以近似看作1：1时（如8：7），计算过程也比较复杂，但这完全是因为存在复杂的情况，而复杂的情况不容易出现。毕达哥拉斯诚不欺我。

吧主要是上节目会选什么题型？

。

日	一	二	三	四	五	六

《一站到底》英雄联盟新模式的战术选择问题

扫二维码下载贴吧客户端