1、设j>0且j为整数
设X(j)=0.9999的无限循环
则由数列{9/10,99/100,999/1000…….(10^j-1)/10^-j} 可得
X(j)=lim(j=1→∞) (10^j-1)/10^-j
假设0.9999的无限循环=1这个等式成立。
则1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j
同理，我们可以得到
0= lim(j=1→∞)10^-j
*（现在，我们是不是可以取j的任意值代入验算？所有人都告诉我，不可以！
为什么不可以？
公式不代入值验算，答案靠猜吗？
违反数学严谨的态度！！！好吧，不代入，我们用等式变形继续做。）
2、二式相加，我们得到
等式一：1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞)10^-j
*（有趣的问题从现在开始了，之所以喜欢数学，就是数学的美就是简单暴力的美，我只需要将值代入，就可以获得完美答案，所以，我还是决定代入值运算！）
我们将满足j设定的数值代入
设j=1
则1 =((10-1)/10)+(1/10)
=9/10+1/10
=1
等式成立。
同理，设j=2，则1=99/100+1/100=1,等式成立
设j=3，则1=999/1000+1/1000=1,等式成立
以此类推
设j=∞ , 则1=(10^j-1)10^-j + 10^-j等式成立
由此，我们认为1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞)10^-j 等式成立
3、现在，等式两边各乘以变量M，则得到
等式二：M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) M10^-j
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=9M/10+M/10=M,等式成立，且M为任意值
以此类推
则M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) M10^-j，等式成立,且M为任意值
4、因为我们知道，lim(j=1→∞)10^-j=0，而0乘任何数得0，
所以，lim(j=1→∞)M10^-j= lim(j=1→∞) 10^-j
将此式代入算式二，我们得到
等式三：M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) 10^-j，
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=9M/10+1/10=(9M+1) /10 , 当且仅当M=1时，等式成立。
以此类推，
当且仅当M=1时，
M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) 10^-j 等式成立。
5、同理，
因为我们知道，lim(j=1→∞)(10^j-1)/10^-j =1，而1乘任何数得任何数，
所以，lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j= M
将此式代入等式二，我们得到
等式四：M=M + lim(j=1→∞) M10^-j，
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=M+M/10, 当且仅当M=0时，等式成立
以此类推，
当且仅当M=0时，
M= M + lim(j=1→∞)M10^-j 等式成立。
6、因为我们知道，等式二、等式三、等式四、都是等式一的合理变形，
所以可以得到等式一、等式二、等式三、等式四为同一个等式。
但是，在代入变量M之后，等式二中，M为任意值
等式三中，M=1
等式四中，M=0
在同一个等式里，M的值不同，当等式一变化为等式二，M符合我们的预期值——任意值。而在等式三和等式四中，M不符合我们对M为任意值的预期值。
通过观察发现，当我们假设等式0= lim(j=1→∞)10^-j等式成立的时候，M=1。当我们假设等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j等式成立的时候，M=0
而我们对等式三的变形，本意是为了推导，当等式0= lim(j=1→∞)10^-j成立的时候，M为任意值，等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j成立，
对等式四的变形，本意是为了推导当等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j成立的时候，M为任意值，等式0= lim(j=1→∞)10^-j成立。
而M值的推导错误,导致了等式三、等式四的错误，因为等式三和等式四只有在M为特定值时才成立。也就是说，只有M=1时，1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j才成立，同理，只有M=0时，0= lim(j=1→∞)10^-j才成立。
说明我们对等式三及等式四的变形是错误的。而变形错误，就只可能发生在代入lim(j=1→∞)M10^-j= lim(j=1→∞) 10^-j和lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j= M这两个等式的时候。
7、由此可知，我们对1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j和0= lim(j=1→∞) 10^-j这两个等式的假设错误。
所以我们得到：
(1)等式一、等式二正确，等式三、等式四错误。
(2)lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j≠1
(3)lim(j=1→∞)10^-j≠0
所以，0.999的无限循环≠1
证明完毕。
8、是的，还没完，现在才证明到0.999的无限循环≠1，这个不是我们的目的。我们再设定了一个变量i,，i>0且i为整数,并且i<10^j。我们来试试推导一下，当lim(j=1→∞) (10^j-1)10^-j变形为比0.999的无限循环小一点的无限数的时候，等式二是不是依然成立。希望我们不会推翻前面的证明。
比0.9999的无限循环小一点的数，我们设定数列
{10-i/10,100-i/100,1000-i/1000…….(10^j-i)/10^-j}
由此可得
X(j)=lim(j,i=1→∞) (10^j-i)/10^-j
同理得到
Y(j)=lim(j,i=1→∞)i10^-j
然后代入等式二得到
等式五：M=lim(j=1→∞)M(10^j-i)10^-j + lim(j=1→∞) Mi10^-j
我们将满足j设定的数值代入
设j=1，i=1
则M=M(10-1)/10+M/10=9M/10+M/10=10M/10=M,当M为任意值，等式成立，我们发现这就是等式二的运算。
设j=1，i=2
则M=M(10-2)/10+2M/10=8M/10+2M/10=10M/10=M,当M为任意值，等式成立。
（在这里停一下，
我们不设j值，令i=2，看看等式变形
我们得到X(j)= lim(j=1→∞)(10^j-2)10^-j
下面略微抄抄作业
将lim(j=1→∞)(10^j-2)10^-j转化为lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j,当我们认为它的极限也是1时，得到lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j=1
| X(j)-1|<ε
由定义可知，要|1-2(1/10)^j-1|<ε,只要j>-lg(ε/2),令N=[- lg(ε/2)], ε/2∈(0,1),则有n>N使得|1-2(1/10)^j-1|<ε，所以得到lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j=1成立。
到了这里，我就奇怪了，lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j这个数消失了吗？刚才还在说lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j=1的事，转眼它不见了！
只是简略抄作业，没有详细解，也许有误？）
下面就不要枚举了，随机带入数值，我们试试
设j=3，i=57（随便按键盘出的随机数）
则M=M(1000-57)/1000+57M/1000=943M/1000+57M/1000=M，当M为任意值，等式成立。
……
所以，当M为任意值时，等式五应该是成立的。
9、现在我就有疑问了，当i取值足够大时，我们依然可以用极限法令lim(j=1→∞)(10^j-i)10^-j=1，但是这个数后面的数就消失了？因为我们无法证明出这个数与1之间存在实数！！！，所以，用证明存在实数再加上实数完备性的结合来让0.9999无限循环=1真的恰当吗？不禁让我想起小时候捉迷藏，有一位小伙伴藏得特别好，我们都找不到他，我们是不是可以认为这个小伙伴是不存在的？对，它违背了道理，但是严格遵从了0.9999无限循环=1的逻辑，为什么大家会认为0.9999无限循环=1的逻辑是对的，而小伙伴不存在这件事的逻辑是错的？
有没有老师帮忙指出我这样变化等式后是不是错了，错在哪里？
设X(j)=0.9999的无限循环
则由数列{9/10,99/100,999/1000…….(10^j-1)/10^-j} 可得
X(j)=lim(j=1→∞) (10^j-1)/10^-j
假设0.9999的无限循环=1这个等式成立。
则1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j
同理，我们可以得到
0= lim(j=1→∞)10^-j
*（现在，我们是不是可以取j的任意值代入验算？所有人都告诉我，不可以！
为什么不可以？
公式不代入值验算，答案靠猜吗？
违反数学严谨的态度！！！好吧，不代入，我们用等式变形继续做。）
2、二式相加，我们得到
等式一：1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞)10^-j
*（有趣的问题从现在开始了，之所以喜欢数学，就是数学的美就是简单暴力的美，我只需要将值代入，就可以获得完美答案，所以，我还是决定代入值运算！）
我们将满足j设定的数值代入
设j=1
则1 =((10-1)/10)+(1/10)
=9/10+1/10
=1
等式成立。
同理，设j=2，则1=99/100+1/100=1,等式成立
设j=3，则1=999/1000+1/1000=1,等式成立
以此类推
设j=∞ , 则1=(10^j-1)10^-j + 10^-j等式成立
由此，我们认为1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞)10^-j 等式成立
3、现在，等式两边各乘以变量M，则得到
等式二：M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) M10^-j
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=9M/10+M/10=M,等式成立，且M为任意值
以此类推
则M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) M10^-j，等式成立,且M为任意值
4、因为我们知道，lim(j=1→∞)10^-j=0，而0乘任何数得0，
所以，lim(j=1→∞)M10^-j= lim(j=1→∞) 10^-j
将此式代入算式二，我们得到
等式三：M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) 10^-j，
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=9M/10+1/10=(9M+1) /10 , 当且仅当M=1时，等式成立。
以此类推，
当且仅当M=1时，
M=lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j + lim(j=1→∞) 10^-j 等式成立。
5、同理，
因为我们知道，lim(j=1→∞)(10^j-1)/10^-j =1，而1乘任何数得任何数，
所以，lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j= M
将此式代入等式二，我们得到
等式四：M=M + lim(j=1→∞) M10^-j，
我们再次将满足j设定的数值代入，
设j=1
则M=M+M/10, 当且仅当M=0时，等式成立
以此类推，
当且仅当M=0时，
M= M + lim(j=1→∞)M10^-j 等式成立。
6、因为我们知道，等式二、等式三、等式四、都是等式一的合理变形，
所以可以得到等式一、等式二、等式三、等式四为同一个等式。
但是，在代入变量M之后，等式二中，M为任意值
等式三中，M=1
等式四中，M=0
在同一个等式里，M的值不同，当等式一变化为等式二，M符合我们的预期值——任意值。而在等式三和等式四中，M不符合我们对M为任意值的预期值。
通过观察发现，当我们假设等式0= lim(j=1→∞)10^-j等式成立的时候，M=1。当我们假设等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j等式成立的时候，M=0
而我们对等式三的变形，本意是为了推导，当等式0= lim(j=1→∞)10^-j成立的时候，M为任意值，等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j成立，
对等式四的变形，本意是为了推导当等式1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j成立的时候，M为任意值，等式0= lim(j=1→∞)10^-j成立。
而M值的推导错误,导致了等式三、等式四的错误，因为等式三和等式四只有在M为特定值时才成立。也就是说，只有M=1时，1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j才成立，同理，只有M=0时，0= lim(j=1→∞)10^-j才成立。
说明我们对等式三及等式四的变形是错误的。而变形错误，就只可能发生在代入lim(j=1→∞)M10^-j= lim(j=1→∞) 10^-j和lim(j=1→∞)M(10^j-1)10^-j= M这两个等式的时候。
7、由此可知，我们对1= lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j和0= lim(j=1→∞) 10^-j这两个等式的假设错误。
所以我们得到：
(1)等式一、等式二正确，等式三、等式四错误。
(2)lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j≠1
(3)lim(j=1→∞)10^-j≠0
所以，0.999的无限循环≠1
证明完毕。
8、是的，还没完，现在才证明到0.999的无限循环≠1，这个不是我们的目的。我们再设定了一个变量i,，i>0且i为整数,并且i<10^j。我们来试试推导一下，当lim(j=1→∞) (10^j-1)10^-j变形为比0.999的无限循环小一点的无限数的时候，等式二是不是依然成立。希望我们不会推翻前面的证明。
比0.9999的无限循环小一点的数，我们设定数列
{10-i/10,100-i/100,1000-i/1000…….(10^j-i)/10^-j}
由此可得
X(j)=lim(j,i=1→∞) (10^j-i)/10^-j
同理得到
Y(j)=lim(j,i=1→∞)i10^-j
然后代入等式二得到
等式五：M=lim(j=1→∞)M(10^j-i)10^-j + lim(j=1→∞) Mi10^-j
我们将满足j设定的数值代入
设j=1，i=1
则M=M(10-1)/10+M/10=9M/10+M/10=10M/10=M,当M为任意值，等式成立，我们发现这就是等式二的运算。
设j=1，i=2
则M=M(10-2)/10+2M/10=8M/10+2M/10=10M/10=M,当M为任意值，等式成立。
（在这里停一下，
我们不设j值，令i=2，看看等式变形
我们得到X(j)= lim(j=1→∞)(10^j-2)10^-j
下面略微抄抄作业
将lim(j=1→∞)(10^j-2)10^-j转化为lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j,当我们认为它的极限也是1时，得到lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j=1
| X(j)-1|<ε
由定义可知，要|1-2(1/10)^j-1|<ε,只要j>-lg(ε/2),令N=[- lg(ε/2)], ε/2∈(0,1),则有n>N使得|1-2(1/10)^j-1|<ε，所以得到lim(j=1→∞)1-2(1/10)^j=1成立。
到了这里，我就奇怪了，lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j这个数消失了吗？刚才还在说lim(j=1→∞)(10^j-1)10^-j=1的事，转眼它不见了！
只是简略抄作业，没有详细解，也许有误？）
下面就不要枚举了，随机带入数值，我们试试
设j=3，i=57（随便按键盘出的随机数）
则M=M(1000-57)/1000+57M/1000=943M/1000+57M/1000=M，当M为任意值，等式成立。
……
所以，当M为任意值时，等式五应该是成立的。
9、现在我就有疑问了，当i取值足够大时，我们依然可以用极限法令lim(j=1→∞)(10^j-i)10^-j=1，但是这个数后面的数就消失了？因为我们无法证明出这个数与1之间存在实数！！！，所以，用证明存在实数再加上实数完备性的结合来让0.9999无限循环=1真的恰当吗？不禁让我想起小时候捉迷藏，有一位小伙伴藏得特别好，我们都找不到他，我们是不是可以认为这个小伙伴是不存在的？对，它违背了道理，但是严格遵从了0.9999无限循环=1的逻辑，为什么大家会认为0.9999无限循环=1的逻辑是对的，而小伙伴不存在这件事的逻辑是错的？
有没有老师帮忙指出我这样变化等式后是不是错了，错在哪里？
