运用不等式的时候一定要注意等号成立条件

请问哪一个结果正确，为什么？

当然是后一个.

另外，有没有哪一位用导数求极值的方法算一算？会和哪个结果相同，或者都不相同？

楼主，看最后结果的范围。如果用的定理方法都是正确的，那么得出的结果谁越逼近就取谁。比如求最小值最大值，如果用的方法都是正确的，计算也是正确的话，那么最小值就取大的，最大值就取小的。
具体到这个题，两种方法都可以计算，但用柯西不等式算的结果范围更小，所以取25，不能取用均值不等式算出的结果。因为，用均值不等式算出的结果范围大了，不准确。实际上，你无论怎么代m和n的值进去计算，它的最小值不会小于25。
这个题，如果在考试中，你没用柯西不等式，而只用均值不等式得出结果就是错的，虽然最后的不等式成立，但误差大了。因为如果不考虑误差大小，我可以直接说它大于或等于7。

2楼已经说出了关键

数形结合？

9楼真相。解法一中的不等式mn取值都是任意，导致m+n=24的情况下mn取不到同时最优的（3，2）。从而不成立。

水

画个图就能一清二楚

几何意义？画图