显然AB＞a时必有两个解分布于AB上下两侧，AB=a时有唯一解C≡B，AB＜a时无解，下面仅就第一种情况的位于AB上侧的解作答(默认尺规作图)
假设已经找到C了.以a为半径作圆A(注意，即使不承认将圆规拿起来平移的行为，这个圆也是尺规可作的)，那么圆C有这样的性质：这个圆的圆心C在圆O上，半径为CB，与圆A相切.若记切点为D，就有∠ADB=90°+∠ACB/2(弦切角定理)，式中三个角度都是定值，就能构造圆了.
作AB中垂线交劣弧AB于E，以EA为半径作圆E，圆E与圆A有一交点D′位于圆O内部，可证这点就是D.作直线AD，交圆O于另一点C′，如所知，这点就是C.
这里有一点要注意，上述做法本质上是根据点C的性质确定点C，逻辑是已知对任意x,x∈M→x∈N，然后我找到了y使得y∈N，但一般不一定有y∈M.然而我首先证明了C存在且唯一(证明从略)，也就是M只有一个元素，之后又确定了N也只有一个元素(因为上述作法只能找到一个点)，所以就有M=N，故y∈N，没丢失严密性.可参考同一法则.别忘了还有另一个解，可自行尝试.