LZ垂直两个字用得好。好难。
看到了LZ的这个题让我想到了一类这样的题目。
在平面上画两垂直线怎样使一个连续图形平均分成四分。这个题也许考虑多元函数的连续性，我想LZ的题目也许可以这样做。
另外更多维空间怎样用互相垂直的面（专业术语不会）去平分它的点（不共线且平分的倍数），曲线，曲面，体当然离散性的点要满足一些条件，当然这些题目都感觉太专业。


这道题是对其他人提出的一条直线分开1万点的题的改编。难度增加很多，但不用太专业的知识。

回复：3楼
两题一样做。。。
先说我对 1万点平分 的做法：
对所有点做处理：
过点 画竖线，将所有点都画上竖线。因为任意三点不在同一直线，所以每一条竖线上至多只有两个点。也就是说 每一条竖线上会有一个点或者两个点。
如果运气好，第20001个点和第19999个点恰好分在两条竖线上，那么 在某两条竖线之间再画一条竖直线，就刚好可以将一万点平分；
如果运气不好，第20001个点和第19999个点被分在同一条竖线上，那么，就取 第20001点和第19999点的中点，过这个中点 画一条斜直线。4万个点总会有一个域，只要满足斜直线与其相邻的两竖线的交点在这个域以外，就能把一万点平分了。
4万点4分 后续。。。

想到一个方法,类似于涵数的连续性的性质
先用一条直线将整个区域平分成两份(很容易做到)
再将两个区域分别用两条垂直该直线的射线分别平分这两个区域，如果平移这两条射线使它们重合还能够平分这两个区域，则以找到。
否则将它旋转180度，这两条射线一直垂直这直线，而且平分它。我们仔细观察垂足的变化，然后运用函数的连续性。肯定能够找到他们的垂足共点的时刻。
大体思路就是这样的。可能不是很严谨。
也许你要说有些点在直线上怎么办，只要将整个两条保持垂直的同时直线稍微偏一点就行了。

回复：6楼
你对于一条直线平分两区域是怎么实现的？

回复：7楼
随便画直线l，依次从每一点向l引垂足，当第n个垂足与前n-1个垂足中的一个重合时，就稍微改变l的斜率使得它们不重合，最后可以找到一条直线L使得所有的点在直线上的垂足都不重合。可做L的垂直“平分”线，平分使两边的点数相等。

回复：6楼
【运用函数的连续性】
怎么用？

你对于一条直线平分两区域是怎么实现的？旋转和平移都可以,
6楼好象十分不严密,错误太多.
上面旋转的时刻,有两种情况,第一不要平移,还能过保持平分.或者需要平移使得一个点到另一个区域.
但是从直觉来说,这两种情况可以让它们连续起来的.因为平分直线任何的任何角度,垂足是在一个区域内.所以能够把需要平移(看起来不连续的的情况)连续起来.当你旋转180度以后,确实能过保证这两个垂足交换位置.
要把它写得滴水不漏是很难的.


回复：9楼
【运用函数的连续性】
怎么用？
譬如你可以设垂足的坐标分别为
(x1,y1)
(x2,y2)
开始和后面的坐标都交换了,不妨设初使的x1-x2>0.那么后面的显然小于0
既然连续的话,肯定会存在x1=x2,又在一条直线上.显然重合.

我是问你怎么知道函数是连续的？

其实我之前的思路和你一模一样，只是我觉得楼主不可能出一个需要复杂证明的题目，所以，还是换个思路吧

回复：12楼
因为旋转的角度的是连续的,假设垂足不是连续的,即存在某一个旋转角使得,在它的某个领域内,那么必存在其它所有的垂足点与该点有一个距离.然后显然存在一些垂线与它的垂线几乎平行,又因为它们都平分这些点,那么夹在平行线的点为0.既然为0,那么平移使它们靠近.显然改变垂足的距离.
感觉是把连续的定义用具体事例重新说了一遍.


哦,换个思路,就很难.
LZ喜欢用算法做这种题,可能是先去做两条垂直的线.然后一步一步去改进这两条直线,最后修成正果.

6 10 11 14 15楼出现了一个严重的错误
误导各位，非常抱歉！！！！
亏我写了那么多字。可惜是一个错误的方法，还像其他人解释我的错误观点。
因为我得到结论，仅仅是存在他们的横坐标相等，而不是垂足重合。所以显然不能证明LZ的问题。(而横坐标相等这个结论完全没有必要证，因为这是很明显的）
可能关键是要怎么应用垂直这个条件。