二元一次方程正整数解，是基础课题，我就是初中生，在数论吧讨论基础问题，借这个大平台，说一说，这个条件是如何解决的，此题要用容斥原理，普通二元一次不定方程是有正整解数公式的！本课题的证明留给吧友自行解决！37x+45y=20233745，（x，x，y）∈N△
f（20233745）=9612

ax+by=n，（a，b）=1，x<y
令y=x+y'，y'∈N+，
即，ax+b（x+y'）=n
（a+b）x+by'=n

ax+by=n，（a，b，n）∈N+，（a，b）=1，正整数解数公式
f（n）=（n-ai-bj+ab）/ab，
i≤b，j≤a
证明，引理①
x+y=c的正整数解数共有c-1
令x=bu-（b-i），y=av-（a-j）
则u+v=（n-ai-bj+2ab）/ab
则f（n）=（n-ai-bi+ab）/ab

37x+45y=2023345
→i=35，j=23，f=12152
②，（x，x，y）∈N△
知y<2x，令y=2x+y'-1，止时y≥2x，
即127x+45y'=20233790
有i=35，j=88，f=3540
③由容斥原理知
f=12152-3540=8612

37x+45y=20233745满足条件
x≤y，（x，x，y）∈N△时正整数解数

1楼题目 ：求37x+45y=20233745满足条件（x，x，y）是整边三角形时解数。
解：
一，求出1个特解x=546830、y=23，即可写出通解：x=546830+45t、y=23-27t;
二，由题意写出下列三个不等式并解之：
① 546830+45t＞0，解得：t＞-546830/45=-12151.7……,即t≥-12151
② y=23-27t＞0,解得：t＜23/37=0.6……,即t≤0
③ 由2x＞y得2（546830+45t）＞23-27t，即1093660+127t＞0,
解得：t＞-11093637/127=-8611.3…………,即t≥-8611
综上三式得：-8611≤t≤0
三，于是求得t的个数=0-（-8611）+1=8612.
答案：37x+45y=20233745满足条件（x，x，y）是整边三角形时解数为8612。

8楼问题：求37x+45y=20233745满足条件x≤y，（x，x，y）∈N△时正整数解数。
解：
一，求出1个特解x=546830、y=23，即可写出通解：x=546830+45t、y=23-37t;
二，由题意写出下列3个不等式并解之：
①由x＞0： 546830+45t＞0，解得：t＞-546830/45=-12151.7……,即t≥-12151
②由x≤y： 546830+45t≤23-37t，解得：t≤-6668.5……，即t≤-6669
③ 由2x＞y：2（546830+45t）＞23-37t，即1093637+127t＞0,解得：t＞-1093637/127=-8611.3……,即t≥-8611
综上三式得：-8611≤t≤-6669
三，于是求得t的个数=-6669-（-8611）+1=1943
答案：满足条件x≤y，（x，x，y）∈N△时正整数解数为1943。

37x+45y=20233745满足条件
x<y，（x，y，2x）∈N△的正整数解个数

13楼由7楼的容斥原理获得，8楼只需解x≤y<2x，变换成普通的方程，注意同步的基础问题，生成类的条件可任意增设等，用此二元一次方程的解法就解决三元一次不定方程正整数解个数的问题
如x+y+z=n，满足条件x≤y≤z∈N+，则
f（n）=[（n^2+3）/12]
或x+y+z=n，（x，y，z）∈N△的解数
用两个思路给出解答

思考题x+y+z=n满足条件x<y≤z∈N△的解数

练习题：
37x+45y=20233745
（2x，2y，3x）∈N△的个数

18楼问题是解x<2y<5x，用容斥原理，也可以用分式方程来解！分式方程为
299a+199b=80934980
容斥原理要解
119x+90a=40467490
299x+90b=40467580

18楼练习题：求37x+45y=20233745满足条件（2x，2y，3x）∈N△的个数。
解：
由“三角形的两边之和＞第三边”，原题不难转换为：
求37x+45y=20233745满足条件x<2y<5x的正整数解的个数。
一，求出1个特解x=546830、y=23，即可写出通解：x=546830+45t、y=23-37t;
二，由题意写出下列3个不等式并解之：
① x＞0：546830+45t＞0，解得：t＞-12151.7……,即t≥-12151
② x＜2y：546830+45t＜2（23-37t），解得：t＜-4594.8……，即t≤-4595
③ 2y＜5x：2（23-37t）＜5（546830+45t），解得：t＞-9144.1……,即t≥-9144
综上三式得：-9144≤t≤-4595
三，于是求得t的个数=-4595-（-9144）+1=4550。
答案：满足37x+45y=20233745满足条件（2x，2y，3x）∈N△的个数为4550.

15楼答案是
2|n，f（n）=[（n^2-4n+16）/48]
2卜n，f（n）=[（n^2+2n+13）/48]