8382 角相等 斜环索线

X在BIC的斜环索线上等价于X在一条关于ABC的退化巨龙曲线上，即X与X关于ABC的等角共轭点U的中点M满足IML共线，其中L是BC中点
另一边Y在BJC的斜环索线的斜环索线上也等价于Y与Y关于ABC的等角共轭点V的连线的中点N在JL上
熟知BCXY共圆时有XU平行于YV，所以ANM共线，MN,XV,YU共点，记为K，由完四等角线，K在BC上，设AI与BC交于D，则A,K;N,M与A,D;I,J调和，所以MI,NJ,BC共点，所以MI过L等价于NJ过L，得证

好久不见

变相同一法

前排mol

推广：（证明只需将4楼的导三角部分换成角元塞瓦）

原题从伪圆来看还比较熟知：两个伪圆等角线，中间夹了个三圆外位似中心（AXY）共线.

抛开伪圆也可以这样搞：设 (BIY) 与 AI 再次交于 S，与 AB 再次交于 F，类似地如图定义 PQR 以及 DEG. 则有∠YSI=∠YBI=∠YBC+∠CBI=∠YXC+∠CJI=∠QJC-∠IJC=∠QJI (有向角). 故 YS 平行于 QJ，继而 AX·AI·AY·AJ=AX·AI·AS·AQ=AE·AC·AF·AB. 同理 XR 平行于 IP，继而可得 AX·AI·AY·AJ=AG·AC·AD·AB. 从而有 AE·AF=AD·AG，故 DE 平行于 FG. 于是导角易见结论成立.

之前也考虑过一个推广（我们爱几何 22.11.27），前一楼其实就是那个的一个证明，我其实还蛮好奇这个和6楼会有什么联系的