比如怎么解一元七次方程-64x^7+112x^5-56x^3+7x-m=0?
用一般的方案难以解出来。这题有个方案：
设x=sint,那么-64(sint)^7+112(sint)^5-56(sint)^3+7sint=m
而sin7t等于等式左边，那么sin7t=m,t=(1/7)*arcsin(m)。
有x=sin[(1/7)*arcsin(m)]
这样这一元七次方程有非常简单的三角函数与反三角函数解。
那么一元高次方程什么时候有公式解？
先分析简单的。
一元七次方程a1*x^7+a2*x^6+a3*x^5+a4*^x4+a5*x^3+a6*x^2+a7*x+a8=0
当a1:a2:a3:a4:a5:a6:a7:a8=1:7m:21m^2:35m^3:35m^4:21m^5:7m^6:m^7时，就有简单的公式解。因为有二项式定理的。
可以把(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)看成一个集合，是一个八维坐标的集合。看成一元七次方程a1*x^7+a2*x^6+a3*x^5+a4*^x4+a5*x^3+a6*x^2+a7*x+a8=0的参数坐标，那么一元七次方程a1*x^7+a2*x^6+a3*x^5+a4*^x4+a5*x^3+a6*x^2+a7*x+a8=0是一元七次方程参数坐标a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8的方程。这样参数坐标(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)满足参数与参数之间的方程a1:a2:a3:a4:a5:a6:a7:a8=1:7m:21m^2:35m^3:35m^4:21m^5:7m^6:m^7时，也就是,在这个方程的八维几何图形上时，这一元七次方程有公式解。
那还有什么时候一元七次方程a1*x^7+a2*x^6+a3*x^5+a4*^x4+a5*x^3+a6*x^2+a7*x+a8=0有公式解？
当(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)满足集合条件
aa1:a2:a3:a4:a5:a6:a7:a8=-64k^7:-448bk^6:(-1344b^2k^5+112k^5):（-2240b^3k^4+560bk^4）：（-2240b^4k^3+1120b^2k^3-56k^3):(-1344b^5k^2+1120b^3k^2-168bk^2):(-448b^6k+560b^4k-168b^2k+k):(-64b^7+112b^5-56b^3+b-m)，也就是满足这个参数与参数之间的集合与方程，在这个方程的八维图形上时，这一元七次方程有公式解。
这综合应用了以上两个知识。具体为什么，请读者自己思考。
还有一元六次方程的参数坐标（a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7）满足a2=a3=a5=a6=0时和a2=a3=a4=a6=0时，这一元六次方程有公式解。这与质数，合数，因数，倍数知识有联系。
还有当一元六次方程参数坐标（a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7）满足可使一元六次方程化简为(x-n1)(x-n2)(x-n3)(x-n4)(x-n5)(x-n6)=0时，这方程可解，但是否是公式解，我不知道。也就是当（a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7）满足在可使一元六次方程化简为(x-n1)(x-n2)(x-n3)(x-n4)(x-n5)(x-n6)=0的七维几何图形上，这个集合时，这一元六次方程可这样化简来解。
其它人说一般的五次以上一元高次方程没根式解，但特定的一元高次方程，参数满足一定集合条件时，这一元高次方程有公式解。
还有参数满足哪些集合条件时，一元高次方程有公式解？可以发言。
我没有仔细检查写的是不是有不对，如果有不对，可以请看者发过来。