（续）
【二、是不是“循环证明”？要看有关概念的孰先孰后】
有人质疑这类证明有什么意义。比如针对例一，有人说：
你根据“0.333…… = 1/3”来证明“0.999…… = 1”，但“0.333…… =1/3”又是从哪里来的呢？如果再有人根据“0.999…… =1”来证明“0.333…… = 1/3”，岂不就是循环证明了么？
是否循环证明，要看哪个概念出现在先。
然而下面会看到，无限小数有关概念出现的先后次序，却不那么清楚，存在可探讨之处。
严格说来，无限小数的值是采用极限理论来规定的。不管是0.999……，还是0.333……，按经典的次序，本应“根据极限理论”来证明它俩才顺当。
但小学生尚未学到极限理论。
小学生尚未学到极限理论，却已经学到了无限小数。先是循环小数，后来又推展到无限不循环小数。
那么，小学生这些概念又是如何引入的呢？
除此之外，还有朋友质疑这些证明中引用到的四则运算规则，是否“已证明过”。如例一中乘以3的时候每位均乘以3，例二中用移位来实现乘以10，等等。
其实，与上面一样，这仍然是一个概念出现孰先孰后的问题，同样有可探讨之处。
不妨探讨一下概念的由来历史。
（待续）

（续）
【三、有关概念的由来，最初循环小数没有“9循环”】
无限循环小数概念的最初引入，是在笔算除法除不尽的时候。此时，按照小学已学过的笔算规则，可以得出任何其他循环节，但不会得出“9循环”。
所以，如果仅把这种方式产生的循环小数作为其定义，那就不会有0.999……这样的形式出现，
也就是说，0.999……形式不合法，因为它不可能按笔算规则由除法产生。
但其它循环节构成的循环小数都是合法的，因为都可以由一对整数除出来。
按这个概念，循环小数的值是明确的。例如，0.333……是在1除以3的时候产生的，所以它的值毫无疑问就等于1/3。
然而，如果我们止步于此，不容许9循环，那么四则笔算规则就缺少了形式上的完备性，如：0.4545…… + 0.5454……，0.33……×3，就不能合法地直接计算。
如能将这个最初概念扩充一下，容许9循环，同时扩充后所得结果与原有数学不存在矛盾，自然更完美。
那么，引入极限理论，是最理想的扩充方式。
（待续）

（续）
【四、极限概念的引入】
从上一节到此为止，我们尚未引入极限理论，仍按笔算除法规则来定义循环小数。
我们认定一个循环小数的值（准确值），就是该“除不尽的”除法的商。
我们所称的近似值，就是与该商近似，所称的“误差”，就是指它和这个商之间的差。
但下面的事实表明，这个定义同时也符合按后来按极限概念所做的定义。
极限理论，是在十九世纪为解决所谓的“第二次数学危机”，使微积分理论严格化的过程中完善起来的。现在一般认为属于高等数学的内容。
但是，如果我们回头对照小学数学，会发现：作除法生成循环小数过程中的“近似值”、“误差”、“准确值”等概念之间的逻辑关系，与极限理论中各因素之间的关系完全一致。
了解过极限理论的“ε-δ、ε-Μ模式”的朋友，不妨注意一下除法“除不尽”时候的下述现象：
除到某一位（如千分位）的时候抛弃余数不继续除，其商产生的误差小于该位的1个单位（如0.001）。保留的位数越往后，误差越小。不管误差限定多么小，总能确定一个位，只要计算保留到这一位，误差就不超出该误差限。
这个事实的道理，小学生只要数学合格，应该是能理解的吧？
我们再看看，极限理论中“序列极限ε-Μ模式” 的叙述：
对于一个无穷序列{x(1)，x(2)，x(3)，……}, 如果存在实数A, 能满足：对于任意指定的正数ε, 都存在一个数Μ，使得只要n>Μ,|A - x(n) | ≤ε一定成立, 则称该无穷序列的极限是A。
对照这个叙述不难看出，只要将我们的“误差限”记作ε，将位数记作Μ，将各近似值看成一个无穷序列，岂不就是说：商的准确值，就是“除不尽”时近似值序列的极限A吗？
即：0.333……的值，就等于无穷序列{0.3，0.33，0.333，……}的极限。
也就是说，小学算术中已经建立的这些概念，天然就满足高等数学的序列极限的定义了。
于是，用极限理论代替前面的最初定义，规定循环小数的值就是其近似值序列的极限，就可以做到和前面一致，并有所扩充，允许9循环也是合法形式了。且不难证明0.999……=1。
扩充后，四则运算形式上完备了。唯一不方便之处是：原为有限小数的数存在了两种不同表示形式。如1也可以写成0.999……，0.32也可以写成0.31999……，等等。
可以看出，极限理论，如果只说一个“序列极限ε-Μ模式”，而不去全面推导微积分中的各个概念的话，它本身并不深奥，没超出小学可以承受的难度。
或者也可以说在小学数学中，虽然尚未学到极限，但极限理论的基础思想，已经出现并实际用到过了，高等数学中只不过把它用严格的措辞整理了一遍而已。
（待续）

（续）
【五、例一证法的意义】
现在回看上面例一中的证明方法，可以看出，如果在已经引入了用极限理论对无限小数的定义后，再根据“0.333…… = 1/3”来证明“0.999…… = 1”，是没多大意义了，
但是，如果在尚未学过极限理论，刚了解了没有“9循环”的“循环小数最初的概念”以后，准备进一步扩充概念的时候，还是有意义的。
此时，“0.333…… = 1/3”是根据1除以3的笔算除法得来的，而0.999……则尚待引入。
在这个背景下，不仅例一的证法有意义，还可以有许多其它证法。例如
例三
用笔算除法可知
6/11 = 0.545454……
5/11 = 0.454545……
将两式相加，得
1 = 0.999999……
例四
用笔算除法可知
4/7 = 0.571428571428……
3/7 = 0.428571428571……
将两式相加，得
1 = 0.999999999999……
这一类的证明还可以看做是对上述“扩充”后体系自洽性的一种检验。
（待续）

（续）
【六、笔算规则可以推广到无限小数】
再说说四则运算规则。
普通加减乘除笔算规则的正确性，虽然教材上不见得找得出其完整的证明文字，但人们用到时不会质疑它“没有证明”，因为“道理太明显了”。
如果对某一规则，有人硬要要求你必须找到它的严格证明原文才罢休的话，那大不了自己从头编写出一套证明，也不太难。
所以，本不该有问题。
然而，现在这个问题之所以引人质疑，不过就是因为，那些规则原本是用于有限小数，而这里把它用到无限小数上了而已。
下面就打算说明：我们所知的有限小数笔算的规则，只要其形式上可以推广到无限小数，那么推广后仍然正确。
理由如下：
我们知道，极限理论中对四则运算，有一个“形式不变性”，即只要极限都存在，就有：
和的极限等于极限之和；
差的极限等于极限之差；
积的极限等于极限之积；
商的极限等于极限之商（限制除数非零的条件）。
因为无限小数等于其近似值（都是有限小数）序列的极限，所以，只要能证明四则运算规则对有限小数正确，再根据这个形式不变性，就可以推理出它对无限小数也正确了。
而这些规则对有限小数的正确性证明，则如上所述，虽不见得找得到证明文字，但相信一定是可以证明的。
对此，有朋友可能会说：
你的理由是引入了极限理论后才有的，那么，尚未引入极限理论的小学生，能这样引用吗？
然而实际上，有关四则运算规则扩充到无限小数的具体实例，在小学的教材中，实际已经出现过了。
为什么可以如此呢？
上面说过，极限理论的基础思想，在初等数学中已经出现并实际用到过了，高等数学中只不过把它用严格的措辞整理了一遍而已。
而“形式不变性”本身的道理并不深奥，有基础思想就足以理解。
可以说，它同样已经达到了“道理很明显了”、“虽不见得找得到证明文字，但相信一定可以证明”的地步。
所以，才可能在小学教材中就出现。
为了说明其道理的明显，不妨具体看看前面用到的例子。
例一中，无限小数乘以3的时候每位均乘以3，这等同于设想有这样一个“定理”：“如果一个无限小数的近似值序列中的每一项，都是另一个无限小数的近似值序列中的对应项的3倍，那么这个无限小数的准确值也一定是那个无限小数准确值值的3倍。”
又，例二中用移位来实现乘以10，如要证明，思路也很简单：
既然对有限小数，可以用移位来实现乘以10，且按照最初概念，无限循环小数是在“除不尽”的时候产生的，那么，无限循环小数乘以10，应该等于原来的被除数左移一位后重新做除法产生的结果。所以，重新做除法时写出的笔算竖式中，以及计算过程中，各数字的次序必和原来相同，仅仅是小数点（相对于数字）移了一位。显然，除法产生的结果无限循环小数，也必然和原来数字相同，仅仅是小数点移了一位。
这个“定理”、这个思路，道理不明显吗？
所以，四则笔算规则推广到无限小数是没有问题的。
至于小学教材中出现的例子，不同版本可能不同。例如，某教材上有这样的例子
例：将循环小数0.234234234……化为分数。
解：设x=0.234234234……； (1)
两边乘以1000：
1000x = 234.234234234……； (2)
将(2)式和(1)式两边相减
999x = 234；
∴ x = 234/999 = 26/111。
这个例子中，用到了三次移位来乘以1000，又用到了减法。
（待续）

【七、补充：笔算除法规则的扩充】
上面说，最初循环小数没有“9循环”，引入极限理论的定义后，可以扩充出“9循环”。
这里顺便介绍另一种扩充出“9循环”的办法作为参考：只要把笔算除法规则略微改动（放宽）一点即可，具体说明如下：
笔算除法每一步试商，本来要求该步的相对余数小于除数。
现在把这个要求放宽，原来要求的“＜除数”，放宽为：“≤除数”，允许出现“＝”，即可。
这样改后，凡是原来会得到有限小数（或整数）结果的，就有了两种可能的结果形式。
按原来，除到某一步相对余数为零，就结束了，得到有限小数。
而放宽后，允许将最后一个试商减少1，于是会得到一个等于除数的相对余数。如此继续，后面就是“9循环”了。
而这两种结果形式，按上面的概念，其值是相等的。
见下面图示意。图中左右是放宽后允许的两种选择。图中，按原规则相对余数必须＜13，放宽为：≤13。

而且，这样扩充后所得结果与现有数学中的所有其余内容都不冲突。特别是，它与按极限理论所做的定义也是兼容的。