不是整除嘛，只能相等情况才能整除，其他情况不可能？

1+1+1+1+1+1+1+2+2=11，11²-1=120
1²+1²+1²+1²+1²+1²+1²+2²+2²=15，120= 15×8
就是要找像这样的例子，用到正整数的个数尽可能少，这个例子是7个1和2个2，一共9个正整数
两个正整数肯定不行的，如果a²+b² 整除(a+b)²-1 = a²+2ab+b²-1，那就得整除2ab-1，但是2ab-1< 2ab ≤a²+b²
如果是三个正整数a²+b²+c² 整除(a+b+c)²-1，因为a²+b²+c²<(a+b+c)²-1<3(a²+b²+c²)，只可能2(a²+b²+c²)= (a+b+c)²-1
左边是偶数，所以右边a+b+c是奇数，(a+b+c)²≡1(mod 8)，所以左边a²+b²+c²是4的倍数，那a²+b²+c²-(a+b+c)= a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)就是奇数，不可能成立
所以应该至少是4个正整数，但还没找到例子

好像做出来了
如果∑a是偶数，那∑a²也是偶数，∑a²不可能整除(∑a)²-1 这个奇数
如果∑a是奇数，那∑a²也是奇数，如果(∑a)²-1 = k*∑a²，因为左边是8的倍数，所以k是8的倍数，k≥8
由柯西不等式n∑a²≥(∑a)²>(∑a)²-1≥8∑a²
所以n>8，n≥9，最小的这样正整数n就等于9，例子正好上面有

n=9时可以这样找符合题意的正整数
当a≡3, 5(mod 8)时，a×(16m-7a)≡1(mod 16)
由四平方和定理，这时当a×(16m-7a)>0时，存在四个非负整数u, v, w, x
使 a×(16m-7a) = 1+16(u²+v²+w²+z²)
这个等式等价于(8m+a)²-1 = 8(8m²+a²+2(u²+v²+w²+x²))
也就是
[(m+u)+(m-u)+(m+v)+(m-v)+(m+w)+(m-w)+(m+x)+(m-x)+a]²-1
= 8×[(m+u)²+(m-u)²+(m+v)²+(m-v)²+(m+w)²+(m-w)²+(m+x)²+(m-x)²+a²]
对固定的正整数a，当m比较大时，a×(16m-7a)<16m²，所以u, v, w, x全都小于m，括号中的全都是正整数
比如a=3, m=4时，a×(16m-7a)= 129 = 1+16×(2²+2²+0²+0²)
得到 3, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6 这9个正整数符合要求
a=5, m=13时，a×(16m-7a)= = 1+16×(2²+3²+4²+5²)
得到 5, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 18这9个正整数符合要求
@基灵公爵 你算下，这两组例子肯定都没错，而且第二组还是两两不相等的9个数