用反证法很容易证明：(1 -0.999……)之差不可能大于0，只可能等于0
本来，如果直接引用极限的定义，这个证明一句话就行了。但我知道本吧不少朋友不承认极限理论，或者只承认被他们误解歪曲，或偷换概念后的“极限理论”。
所以，为使这些朋友能理解，本帖换一种形式：不引用极限理论，直接用反证法来证明。也很容易。
但在证明时，需要引用若干朋友们公认的事实，作为已知条件。
需要引用的公认事实如下：
【1】无限小数0.999……大于无穷序列{0.9，0.99，0.999，0.9999，……}中的每一项；
【2】所以(1 -0.999……)小于无穷序列{0.1，0.01，0.001，0.0001，……}中的每一项；
【3】后一序列中的第n项等于1/10^n（或写作10^-n）。
设(1 - 0.999……) = δ；下面用反证法来证明δ不可能大于零。
假设δ大于零，则因正数均可取对数，可设M= -lgδ，即δ=10^-M。
再设N=(M取整+1)，则N为大于M的一个整数，
故δ=10^-M > 10^-N。
（为照顾不熟悉对数的朋友，对这一段做点解释。这一段要说明的是：只要δ大于零，总有办法找到一个正整数N，使得δ> 10^-N。这里只是给了一种找法，如果换一种别的找法也可以。）
而上述序列{0.1，0.01，0.001，0.0001，……}中的第N项就等于10^-N。
故δ大于该序列中的第N项及以后各项。
这与上述公认的事实【2】相矛盾。
所以δ不可能大于零。
证毕。