四平方和定理说明任何正整数都能表示成不超过4个正完全平方数之和
而当p是大于1的奇数时，p²-2≡7(mod 8)，不可能表示成不超过三个正整数的平方和，所以存在正整数a, b, c, d使p²-2=a²+b²+c²+d²
所以 p²=a²+b²+c²+d²+1²+1²

查到一个规律，如果s是大于等于6的正整数
那除了小于等于s-1 的数，以及s+1, s+2, s+4, s+5, s+7, s+10, s+13 这7个数以外，所有其他正整数都能表示成 s个正整数的平方和
s=5时，除了上面这些数之外，还要去掉一个例外33，其他的数都可以表示成5个正整数的平方和
(^～^)

其实这个问题中的p^2可被表示为a^2+5b^2

除了p=5，符合条件的其他奇素数p≡1, 3, 7, 9(mod 20) ，-5是模p的二次剩余，总存在整数a, b使a²+5b²≡0(mod p)
但是怎么证明p² 一定能表示成a²+5b²的形式

我想的是因为总存在一对不超过[sqrt(p)]的正整数x, y，使p ℓ x²+5y²，由于x²+5y²<6p
所以p, 2p, 3p, 4p, 5p 中至少有一个能表示成 x²+5y²
如果 x²+5y²=5p，那x肯定是5的倍数，令x=5b, y=a，那p= a²+5b²
如果 x²+5y²=4p，那x, y不可能都是奇数，否则x²+5y²≡2(mod 4)
相加是偶数，也不可能一奇一偶，所以x, y都是偶数，令x=2a, y=2b，则 a²+5b²=p
所以p, 2p, 3p中至少有一个能表示成a²+5b²，a, b都是正整数
当p>5时，a, b一定互素而且a不是5的倍数
如果p= a²+5b²，那p²= (a²-5b²)²+5(2ab)²，A=ℓa²-5b²ℓ 和 B=2ab 肯定都是正整数
如果2p = a²+5b²，那p²= [(a²-5b²)/2]²+5(ab)²
因为a, b一定都是奇数，所以A=ℓ(a²-5b²)/2ℓ 和 B=ab 都是正整数
如果3p = a²+5b²，那p²= [(2a²-10b²+10ab)/9]²+5[(a²-5b²-4ab)/9]² = [(2a²-10b²-10ab)/9]²+5[(a²-5b²+4ab)/9]²
当p>5时，因为a²+5b²=3p≡3, 6(mod 9)，所以a, b都不是3的倍数
而且a²≠4b²(mod 9)，只可能a²≡b²或7b²(mod 9)，也就是a≡b, 4b, 5b, 8b
当a≡5b或8b (mod 9)时，A= ℓ(2a²-10b²+10ab)/9ℓ 和 B= ℓ(a²-5b²-4ab)/9ℓ 都是整数
当a≡b或4b(mod 9)时，A= ℓ(2a²-10b²-10ab)/9ℓ 和 B= ℓ(a²-5b²+4ab)/9ℓ 都是整数
而由于a, b互素，且a不会是5的倍数
当a=b时只可能a=b=1，p=(a²+5b²)/3=2 ，所以p>5时不会有a=b或a=5b的情况，A和B都不会等于0，一定都是正整数
综上所述p>5时符合条件的素数p，p²都能表示成A²+5B²，A, B是正整数
p=2时只能是 4=2²+5×0²，p=3时可以是 9=2²+5×1²，p=5时只能是25= 5²+5×0²