假设存在lg a - lg b不是整数并且对任何正整数n,s(an) = s(bn)
如果a = r×2^u×5^v,r和10互素,u, v是非负整数
令 B = 2^v×5^u×b,那对任意正整数n, s(rn)=s(rn×10^(u+v))= s(a×2^v×5^u×n)= s(Bn)
再把B 分解成 p×10^k,p不是10的倍数,则s(rn)= s(Bn)= s(pn) 恒成立
因为lg a - lg b = u+v+ lg r - lg B = u+v-k + lg r - lg p,所以 lg r - lg p也不是整数,则r≠p
由欧拉定理,可以取正整数m令 rm = 10^φ(r)-1 = 999…9,s(rm) = 9φ(r)
如果pm < rm,那 s(pm)< 9φ(r),和s(rm)不相等
又因为p≠r,所以pm > rm,至少有φ(r)+1位,假设pm是一个t 位数
p不是10的倍数,m也和10互素,所以pm也不是10的倍数,末位不等于0
那pm的末位数字乘以9,加上pm的首位数字,一定会发生进位
所以s(pm×[9×10^(t-1)+1]) < 2s(pm)
而t-1≥φ(r),所以 10^(t-1)>rm,s(rm×[9×10^(t-1)+1]) = s(9rm)+s(rm)
9rm = 899…91,一共φ(m)-1个9,所以s(9rm)=9φ(m)= s(rm)
则s(rm×[9×10^(t-1)+1]) = 2s(rm)
这样s(pm×[9×10^(t-1)+1]) ≠ s(rm×[9×10^(t-1)+1]) 就矛盾了
如果a = r×2^u×5^v,r和10互素,u, v是非负整数
令 B = 2^v×5^u×b,那对任意正整数n, s(rn)=s(rn×10^(u+v))= s(a×2^v×5^u×n)= s(Bn)
再把B 分解成 p×10^k,p不是10的倍数,则s(rn)= s(Bn)= s(pn) 恒成立
因为lg a - lg b = u+v+ lg r - lg B = u+v-k + lg r - lg p,所以 lg r - lg p也不是整数,则r≠p
由欧拉定理,可以取正整数m令 rm = 10^φ(r)-1 = 999…9,s(rm) = 9φ(r)
如果pm < rm,那 s(pm)< 9φ(r),和s(rm)不相等
又因为p≠r,所以pm > rm,至少有φ(r)+1位,假设pm是一个t 位数
p不是10的倍数,m也和10互素,所以pm也不是10的倍数,末位不等于0
那pm的末位数字乘以9,加上pm的首位数字,一定会发生进位
所以s(pm×[9×10^(t-1)+1]) < 2s(pm)
而t-1≥φ(r),所以 10^(t-1)>rm,s(rm×[9×10^(t-1)+1]) = s(9rm)+s(rm)
9rm = 899…91,一共φ(m)-1个9,所以s(9rm)=9φ(m)= s(rm)
则s(rm×[9×10^(t-1)+1]) = 2s(rm)
这样s(pm×[9×10^(t-1)+1]) ≠ s(rm×[9×10^(t-1)+1]) 就矛盾了