我觉得是错的, [k1+k2 2k1 k1-2k2]^T 不能表示三维空间的任意一个向量.
因为你图中的k1[1 2 -2]^T + k2[1 0 1]^T 是两个线性无关的向量,
这两个向量作为基只能表示一个 R^2 空间, 而 A 是三阶矩阵
Aξ=A(k1[1 2 -2]^T + k2[1 0 1]^T) + Ak2a=0,
可以消元得 Aξ=A(k1[1.5 1 0]^T + k2[1 0 1]^T) + Ak2a=0,
可以知道A[1.5k1+k2 k1 k2]^T=-3k2a,
应该不难发现, 该向量第一个元素总是后两个元素的固定组合, 不能表示整个 R^3空间
第一问可以求 A, 但是不必这么麻烦;
得到 α 是 A 的特征向量, 即 α 在 A 的列张成的空间中, 考虑到特征向量的几何意义, 不妨让 α 是列空间的一个基;
又 Ax=0有两个线性无关的解, 故A的零空间的维度=n-r=3-r=2, rank A = r = 1;
故A的行空间与列空间的维度均为1.
由于我们已经找到了列空间的一个基α, 又知道列空间的维度 = 1, 故 cα 能张成整个列空间, 其中 c 是常数.
相应的, A的列的线性组合就是 A 的列空间的一个子空间, 故 α 与列的任意组合线性相关
第二问 A 是可以求的 根据 Ax = 0 的解, 得到 A 的列的关系即可, 最后带入 Aα = [3 3 3]^T, 就可以求出 Aβ 和 A.
最后知道 A=[-2 2 1] [3 3 3]^T, Aβ=[9 9 9]^T, 不知道有没有算错. 反正这个题很有意思, 比 660 的水题强多了, 我也准备买 🐙 1000 了

我的想法是，A的秩是1，也就是说A里面每条列向量之间都是线性相关的。也就是每条列向量都成比例，每行元素相加都为3，那么很容易得出A乘以任何向量都是和所给向量线性相关的，就是没有数字表现就很不直观

好难，不知道对不对

我觉得，没那么难吧
先反求A，后设β，化为方程组

并不对，很明显你拆开并不正确，他的解空间是两个线性无关的向量，不能通过这种拆分就变成三个线性无关的列向量

而且很明显，这么拆开后，本质上仍然是两个线性无关的解向量，这个题是要求你引入α作为第三个线性无关的向量，然后就可以表示整个三维空间，从而你这个β当然可以由它们线性表示。而前两个与A作用是0，因为ζ1，2是Ax＝0的解向量。那么，又α和A具有特殊的结构，从而可以得出线性表示。