上节课我讲解了集合论的ZF公理（选择公理没有讲）。集合论通过无穷公理构造了自然数集的形式。上节课的课后习题答案如下：
1.用集合构造映射
对映射f：A→B（A,B都不能为空集），针对集合A=｛a，…｝，B=｛b，…｝，先根据无序对公理构造集合C=｛A,B｝，然后根据并集公理构造集合D=｛a1,a2,...,b1,b2,...｝=A U B。（注意，集合里的省略号并不一定意味着集合中还有别的元素，比如集合｛a,a｝实际上就是｛a｝，只是为了方便所以不要求按高中时那样每个元素只写一次。）
接下来需要认识有序对、笛卡尔积。显然，有序对（a，b）=｛｛a｝，｛a,b｝｝是集合A U B的幂集P(A U B)的一个子集，符合幂集公理和分离公理。而所有这样的有序对（指前一个元素属于A，后一个元素属于B）就可以构成一个集合，记为A×B=｛（a,b）｜（a,b）∈P(A U B)，a∈A且b∈B｝。最后，用我们熟悉的y=f(x)函数在xOy坐标空间中的图像可以看出，这个函数对应的图像是整个空间的子集，且满足一个x只能对应一个y（定义域为R时）。那么拓展到更一般的映射，我们就可以构造相应的集合，使之为集合A×B的子集，且满足一些性质。这样，我们就能用纯粹的集合描述映射了。
例如，对函数y=x（x∈R），我们可以用集合｛（x,y）|（x,y）∈P(R×R)，y=x｝描述。
2.皮亚诺公理
让我们看看皮亚诺公理。
一、0是一个自然数（存在一个元素，记为0，使得0属于N，而这个0在集合论中就是空集）
二、对任意一个自然数n，存在唯一的后继n'，使得这个后继的n'也是一个自然数（任意x∈N，满足x U ｛x｝∈N。这里可以定义一个后继映射f：N→N，满足f（x）=x U ｛x｝）
三、0不是任何自然数的后继（这是很显然的，如果存在x，使得x U ｛x｝=0=空集，那么x就属于空集，显然不成立。所以这样的x不存在。）
四、任意两个不同的自然数的后继都不同（对任意x,y，x≠y→x U {x}≠y U {y}。这可以用反证法证明。具体证明过程留作课后习题）
五、对任意一种性质P，如果0具有该性质即P（0）为真，且P(n)→P（n'）即自然数n具有该性质可以推出n'也具有该性质，则所有自然数都具有该性质
（对任意的集合S，若空集属于S，且对任意的x∈S，满足x U ｛x｝∈S，则N包含于S）第五条公理对应数学归纳法。当我们需要证明某条语句对所有自然数成立，只需要两步：1、归纳奠基：证明语句对0成立；2、归纳递推：证明如果n成立，则n'成立。那么我们就能证明了它对所有自然数成立。