以下为转贴，出处不详：
如学术界所公认的，悖论问题是数学基础中最困难而又极为重要的问题，二十世纪初的数学家在解决悖论的过程中，也导致了崭新的数学基础理论的产生与发展（这个议题我以後会再谈到）。可是直至今日，不同类型的悖论问题本身仍然没有公认的圆满解答。
一九Ｏ一年於集合论中发现的罗素悖论，真正引爆了这场数学基础的危机。可是早在罗素悖论之前，康托就於一八九九年在他的超限集合论中发现了所谓的康托悖论。根据概括原则可以构成由所有集合所组成的集合Ｓ，即所谓的「大全集」。康托定理告诉我们，任一集合的羃集（Power Set，即由该集合的所有子集合所组成的集合）的基数（Cardinal Number，即集合中的元素个数）大於原集合的基数。由此可知Ｓ的羃集ＰＳ的基数ＰＳ，大於Ｓ自身的基数Ｓ。但是既然Ｓ是大全集，则ＰＳ也是Ｓ的子集，而子集的元素个数不可能超过其母集，故有ＰＳ小於或等於Ｓ。综合前述的两个关系式，由此出现了不该出现的矛盾：ＰＳ＞Ｓ并且ＰＳ≤Ｓ。
当时康托意识到如果上述的推导找不出问题，又想要消解这个悖论的话，则解决的关键可能在於：不存在大全集，或者是，没有最大的超限基数，又或者是，并非任何的集合都有羃集。但是这些结论如果成立，又会造成超限集合论的大翻修。然而，这个悖论还没有影响到当时数学界的和谐气氛，也没有影响集合论在许多领域的自由应用，所以它一直被忽略。直到形式简洁而明确的罗素悖论被提出，没有任何可辩驳的馀地，数学界才突然落入晴天霹雳的窘境。罗素说：这揭示我们关於真理、概念、存在与类等观念的逻辑直觉是自相矛盾的。
根据罗素本人的介绍，他当时的思路是这样：我们可以把所有集合分成两类，一类是不属於自己的，不能做为自己元素的集合（例如汤匙的集合，本身不是一把汤匙）；再一类就是属於自己的，即本身是自己的元素的集合（例如所有不是汤匙的东西的集合，本身也不是一把汤匙）。这种分类看起来是充分适当而无可怀疑的。现在我们考虑「不属於自身的集合」这一性质，根据概括原则，它可以定义集合Ｓ＝｛ｘ｜ｘ不属於ｘ｝，即（ｘ）（ｘ属於Ｓ←→ｘ不属於ｘ）（对任一集合ｘ，如果ｘ属於Ｓ，若且唯若，ｘ不属於自己）。由此进行简单的全称限定即可推得：Ｓ属於Ｓ←→Ｓ不属於Ｓ，从而构成一矛盾命题的等价式，即Ｐ←→非Ｐ。这个严格的悖论只涉及到集合论的基本概念，如「集合」、「元素」、「集合的集合（以集合为元素的集合）」与「属於」；涉及到的基本原则只有一条「概括原则」，这是统摄任一集合的一条普遍原则，可运用於构造无限集合，甚至是不可数的无限集合，这条原则使得（超限）集合论作为整个数学的基础理论，成为可能。 罗素悖论是属於集合论悖论，它的提出也让数学家重新检视了几个语义悖论，例如以前被视为文字游戏的说谎者悖论。学者们开始对已知的悖论做分类的工作，我们大概分成五种：哲学悖论、集合论悖论、逻辑悖论（或称为语形悖论）、语义悖论与具体理论悖论。哲学悖论以芝诺悖论与康德的二律背反为代表，具体理论悖论则例如我之前在《悖论与科学革命》文中所提到物理学的悖论。而本文的重点，在於从罗素悖论看集合论悖论、逻辑悖论与语义悖论，後面我将介绍罗素悖论的逻辑悖论版本与语义悖论版本。以这些例子，我们可以看到不同类型的悖论的内在联系。
罗素悖论即使不用任何集合论的术语，而仅用纯粹的逻辑语言，也可以把这个悖论表述出来。我们说一特徵性质定义一集合，而性质这个概念是可以纯逻辑地表达的。例如个体张三（ａ）具有性质诚实（Ｆ），可表示为Ｆａ。性质本身有可以具有某种性质（即二阶述词逻辑，乃至於多阶述词逻辑），如诚实具有可贵（Ｇ）的性质，可表示为ＧＦ。所有性质可分为两类：一类即非本身具有的性质，此类性质较多，如诚实本身无所谓诚实不诚实，可贵的这个性质本身也并不可贵，该类性质称为平常性质（Ｐ）；另一类性质则同时也是自己的性质，例如可理解这个性质本身也是可理解的，非人这个性质本身也属非人，这类性质称为非常性质。
显然，平常性质与非常性质本身也都是性质。现在的问题是：平常性质本身是不是平常性质？结果便是：它是平常性质，若且唯若，它不是平常性质。这个悖论也不需要用到任何语义概念，纯形式的逻辑构造如下：由平常性质Ｐ的定义可得，对於所有性质Ｘ而言，Ｘ具有性质Ｐ，若且唯若，Ｘ不具有Ｘ本身。即（Ｘ）（ＰＸ←→非ＸＸ）。经过全称限定规则，即既然上式对於所有性质都成立，对於性质Ｐ自然也成立。便可以得到ＰＰ←→非ＰＰ。这是一个严格的逻辑悖论（语形悖论），也是罗素悖论的纯逻辑构造。
一九一八年，罗素提出了罗素悖论的语义版本，即有名的「理发师悖论」：在萨维尔村有一个理发师，他本人有刮胡子的习惯。他挂出了一块招牌规定著：「我给而且只给村民中不给自己刮胡子的人刮胡子。」村子里所有有刮胡子习惯的村民可以分为两类：一类是自己给自己刮胡子的，记为Ｓ，一类是自己不给自己刮胡子的，记为非Ｓ。试问：该理发师属於哪一类？如果属於Ｓ，则按照他自己的规定，他不该给自己刮胡子，因之又属於非Ｓ；如果属於非Ｓ，则同样按照他自己的规定，他又该给自己刮胡子，因又属於Ｓ。从而得出，该理发师属於Ｓ，若且唯若，他属於非Ｓ。这是一个严格的语义悖论，也使得罗素悖论更易为人所理解。
如学术界所公认的，悖论问题是数学基础中最困难而又极为重要的问题，二十世纪初的数学家在解决悖论的过程中，也导致了崭新的数学基础理论的产生与发展（这个议题我以後会再谈到）。可是直至今日，不同类型的悖论问题本身仍然没有公认的圆满解答。
一九Ｏ一年於集合论中发现的罗素悖论，真正引爆了这场数学基础的危机。可是早在罗素悖论之前，康托就於一八九九年在他的超限集合论中发现了所谓的康托悖论。根据概括原则可以构成由所有集合所组成的集合Ｓ，即所谓的「大全集」。康托定理告诉我们，任一集合的羃集（Power Set，即由该集合的所有子集合所组成的集合）的基数（Cardinal Number，即集合中的元素个数）大於原集合的基数。由此可知Ｓ的羃集ＰＳ的基数ＰＳ，大於Ｓ自身的基数Ｓ。但是既然Ｓ是大全集，则ＰＳ也是Ｓ的子集，而子集的元素个数不可能超过其母集，故有ＰＳ小於或等於Ｓ。综合前述的两个关系式，由此出现了不该出现的矛盾：ＰＳ＞Ｓ并且ＰＳ≤Ｓ。
当时康托意识到如果上述的推导找不出问题，又想要消解这个悖论的话，则解决的关键可能在於：不存在大全集，或者是，没有最大的超限基数，又或者是，并非任何的集合都有羃集。但是这些结论如果成立，又会造成超限集合论的大翻修。然而，这个悖论还没有影响到当时数学界的和谐气氛，也没有影响集合论在许多领域的自由应用，所以它一直被忽略。直到形式简洁而明确的罗素悖论被提出，没有任何可辩驳的馀地，数学界才突然落入晴天霹雳的窘境。罗素说：这揭示我们关於真理、概念、存在与类等观念的逻辑直觉是自相矛盾的。
根据罗素本人的介绍，他当时的思路是这样：我们可以把所有集合分成两类，一类是不属於自己的，不能做为自己元素的集合（例如汤匙的集合，本身不是一把汤匙）；再一类就是属於自己的，即本身是自己的元素的集合（例如所有不是汤匙的东西的集合，本身也不是一把汤匙）。这种分类看起来是充分适当而无可怀疑的。现在我们考虑「不属於自身的集合」这一性质，根据概括原则，它可以定义集合Ｓ＝｛ｘ｜ｘ不属於ｘ｝，即（ｘ）（ｘ属於Ｓ←→ｘ不属於ｘ）（对任一集合ｘ，如果ｘ属於Ｓ，若且唯若，ｘ不属於自己）。由此进行简单的全称限定即可推得：Ｓ属於Ｓ←→Ｓ不属於Ｓ，从而构成一矛盾命题的等价式，即Ｐ←→非Ｐ。这个严格的悖论只涉及到集合论的基本概念，如「集合」、「元素」、「集合的集合（以集合为元素的集合）」与「属於」；涉及到的基本原则只有一条「概括原则」，这是统摄任一集合的一条普遍原则，可运用於构造无限集合，甚至是不可数的无限集合，这条原则使得（超限）集合论作为整个数学的基础理论，成为可能。 罗素悖论是属於集合论悖论，它的提出也让数学家重新检视了几个语义悖论，例如以前被视为文字游戏的说谎者悖论。学者们开始对已知的悖论做分类的工作，我们大概分成五种：哲学悖论、集合论悖论、逻辑悖论（或称为语形悖论）、语义悖论与具体理论悖论。哲学悖论以芝诺悖论与康德的二律背反为代表，具体理论悖论则例如我之前在《悖论与科学革命》文中所提到物理学的悖论。而本文的重点，在於从罗素悖论看集合论悖论、逻辑悖论与语义悖论，後面我将介绍罗素悖论的逻辑悖论版本与语义悖论版本。以这些例子，我们可以看到不同类型的悖论的内在联系。
罗素悖论即使不用任何集合论的术语，而仅用纯粹的逻辑语言，也可以把这个悖论表述出来。我们说一特徵性质定义一集合，而性质这个概念是可以纯逻辑地表达的。例如个体张三（ａ）具有性质诚实（Ｆ），可表示为Ｆａ。性质本身有可以具有某种性质（即二阶述词逻辑，乃至於多阶述词逻辑），如诚实具有可贵（Ｇ）的性质，可表示为ＧＦ。所有性质可分为两类：一类即非本身具有的性质，此类性质较多，如诚实本身无所谓诚实不诚实，可贵的这个性质本身也并不可贵，该类性质称为平常性质（Ｐ）；另一类性质则同时也是自己的性质，例如可理解这个性质本身也是可理解的，非人这个性质本身也属非人，这类性质称为非常性质。
显然，平常性质与非常性质本身也都是性质。现在的问题是：平常性质本身是不是平常性质？结果便是：它是平常性质，若且唯若，它不是平常性质。这个悖论也不需要用到任何语义概念，纯形式的逻辑构造如下：由平常性质Ｐ的定义可得，对於所有性质Ｘ而言，Ｘ具有性质Ｐ，若且唯若，Ｘ不具有Ｘ本身。即（Ｘ）（ＰＸ←→非ＸＸ）。经过全称限定规则，即既然上式对於所有性质都成立，对於性质Ｐ自然也成立。便可以得到ＰＰ←→非ＰＰ。这是一个严格的逻辑悖论（语形悖论），也是罗素悖论的纯逻辑构造。
一九一八年，罗素提出了罗素悖论的语义版本，即有名的「理发师悖论」：在萨维尔村有一个理发师，他本人有刮胡子的习惯。他挂出了一块招牌规定著：「我给而且只给村民中不给自己刮胡子的人刮胡子。」村子里所有有刮胡子习惯的村民可以分为两类：一类是自己给自己刮胡子的，记为Ｓ，一类是自己不给自己刮胡子的，记为非Ｓ。试问：该理发师属於哪一类？如果属於Ｓ，则按照他自己的规定，他不该给自己刮胡子，因之又属於非Ｓ；如果属於非Ｓ，则同样按照他自己的规定，他又该给自己刮胡子，因又属於Ｓ。从而得出，该理发师属於Ｓ，若且唯若，他属於非Ｓ。这是一个严格的语义悖论，也使得罗素悖论更易为人所理解。
