可以先得到N的因数个数k≤5，并且除了1和N本身以外的因数平方和等于3N-1
则k＞2，另外如果N=p^t，p为素数，t为正整数，那N除了1以外所有因数都是p的倍数
N的因数平方和≡1(mod p²)，和p互素，不可能是N(N+3)= p^t*(p^t+3)
由此可知k只能是4，并且N是两个不同素数之积，设N=p*q，p＞q是不相等素数，则p²+q²=3pq-1
而又可以证明x²+y²=3xy-1的所有正整数解(x, y)一定是以下数列a[n]的相邻两项
a[0]=a[1]=1, n≥2时a[n]= 3a[n-1] - a[n-2]
而又可以用数学归纳法证明，这个数列从a[1]开始都是F[n]的子数列，因为n≥1时a[n]= F[2n-1]
其中斐波那契F[n]满足F[0]=0, F[1]=F[2]=1, n≥2时F[n]= F[n-1]+F[n-2]
(n≥1时 F[2n+3] = F[2n+1]+F[2n+2] = 2F[2n+1]+F[2n] = 3F[2n+1] - F[2n-1] )
a[0]=1不是素数，所以p, q一定在斐波那契数列F[n]中

中间那个不定方程通解可以这样证明，类似无穷递降法
假设x²+y²=3xy-1的某组正整数解(x, y)不是这个数列相邻两项，并且是这样的解中使x+y最小的
由于x=y时方程只有x=y=1的正整数解，而这组解是数列中的相邻两项a[0], a[1]，所以假设x＞y≥1
由于x²<x²+y²= 3xy-1<3xy，所以x<3y
又由于x≥y+1≥2，所以x²-2xy = 3xy-1-y²-2xy = x(x-y)-1≥x-1＞0，所以x²＞2xy，x＞2y
则y²+(3y-x)²= y²+9y²-6xy+x² = 3xy-1+9y²-6xy = 3y(3y-x)-1
那(y, 3y-x)也是这个方程的正整数解，而且由于x＞2y，可得y+(3y-x) = 4y-x < x< x+y
由假设最小性可知(y, 3y-x)是数列a[n]中相邻两项，并且由于x＞2y，y＞3y-x，所以存在k≥1使y=a[k], 3y-x=a[k-1]
由递推可得a[k+1]= 3y-(3y-x)=x，那(x, y)也是数列中相邻两项，与假设矛盾，所以x²+y²=3xy-1的所有正整数解(x, y)一定都是数列的相邻两项

jumpping不等式秒了