第1题
对正整数n，设[sqrt(n)]=m，t=n-m²
由m≤sqrt(n)<m+1 可得 m²≤n<(m+1)²，0≤t≤2m，另外m为正整数
若m²+2 | n²+1，由于n²+1= (m²+t)²+1≡(t-2)²+1 (mod m²+2)
所以 m²+2 整除 (t-2)²+1，由于当t=0, 1时没有正整数m使m²+2 满足要求，所以t≥2
则0< (t-2)²+1≤(2m-2)²+1 < 4m²+8
所以只可能 (t-2)²+1 = m²+2 或 2m²+4 或 3m²+6
第1种情况 (t-2)²+1 = m²+2，m²=(t-2)²-1，相差为1的完全平方数只有0和1，所以m=0，没有正整数解
第2种情况 (t-2)²+1 = 2m²+4，模8可得(t-2)²≡2m²+3≡3或5 (mod 8)，没有整数解
第3种情况 (t-2)²+1 = 3m²+6，模3可得 (t-2)²≡2(mod 3)，没有整数解
所以满足条件的正整数n不存在
对正整数n，设[sqrt(n)]=m，t=n-m²
由m≤sqrt(n)<m+1 可得 m²≤n<(m+1)²，0≤t≤2m，另外m为正整数
若m²+2 | n²+1，由于n²+1= (m²+t)²+1≡(t-2)²+1 (mod m²+2)
所以 m²+2 整除 (t-2)²+1，由于当t=0, 1时没有正整数m使m²+2 满足要求，所以t≥2
则0< (t-2)²+1≤(2m-2)²+1 < 4m²+8
所以只可能 (t-2)²+1 = m²+2 或 2m²+4 或 3m²+6
第1种情况 (t-2)²+1 = m²+2，m²=(t-2)²-1，相差为1的完全平方数只有0和1，所以m=0，没有正整数解
第2种情况 (t-2)²+1 = 2m²+4，模8可得(t-2)²≡2m²+3≡3或5 (mod 8)，没有整数解
第3种情况 (t-2)²+1 = 3m²+6，模3可得 (t-2)²≡2(mod 3)，没有整数解
所以满足条件的正整数n不存在
