假设6a²-3a是完全平方数. 因为它有因子3, 所以它有因子9. 于是a有因子3. 设a=3b, 其中a是正整数, 则6a²-3a=9(6b²-b). 因而6b²-b也是完全平方数. 因为它有因子b, 所以它有因子b². 这说明b整除6b-1. 于是b整除6b-(6b-1)=1. 因此b=1. 代入, 得6b²-b=5不是完全平方数, 矛盾.

若存在正整数a和整数b使6a²-3a=b²，b一定是3的倍数，设b=3c，则2a²-a=3c²，a(2a-1)=3c²
由于a和2a-1是互素正整数，所以存在互素正整数m, n使得要么a=3m², 2a-1=n²，要么a=m², 2a-1=3n²
前一种 n²+1=2a≡0(mod 3)没有整数解，后一种 2a-1= 2m²-1≡0(mod 3)也没有整数解，所以不存在这样的正整数a