后面用均值不等式就行

64？

给上面那个东西平方一下，然后称一下a²+b²，然后展开得到的式子用一下基本不等式就可以了，如果我没算错的话应该是83

三角换元角度无限制，像一楼那样写出来后，用a比b比值代换应该也行但a要大于8，b要大于1，取值范围我不太清楚没用 如果我这个方法错了求大佬指正，基本不等式应该不行取等条件不同

赫尔德
125

这种直接硬算
b=a/(a-8)，(a＞8)
等式两边对a求导
-8/(a^2)-b'/(b^2)=0
b'=-8b^2/(a^2)
对f(a)=a^2+b^2求导
f'=2a-16b^3/a^2
=2a(a-10)((a-8)^2+2(a-8)+4)/(a-8)^3
f在a=10取最小值，b=5
最小值125

用三个乘一起的那个柯西不等式

求助如何用基本不等式写

得：a+8b=ab
设a=kb(k＞0）
k+8=kb
a^2+b^2=（k^2+1）b^2
=（k^2+1）（1+16/k+64/k^2）
=k^2+1+16k+16/k+64+64/k^2
=k^2+64/k^2+16k+16/k+65
f(k)=k^2+64/k^2+16k+16/k+65
f'(k)=2k-128/k^3+16-16/k^2，单调增函数
当且仅当k=2时，有f(k)min=4+16+16*2+8+65=125
*k^4+8k^3-8k-64=0，（k^3-8）（k+8）=0
综上所述………

(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(8/a+1/b)(8/a+1/b)≥(64^1/3+1)^3=125

数形结合做的

要求最值的那个式子乘两个一，也就是上面的式子，均值就行了

求偏导也可以：先求8/a的导数为8/-a²，1/b的导数为1/-b²，下面的式子分别求导，都是2a，2b，把它们分别比值求等。
可得8/-a²/2a＝8/-2a³，另一个为1/-b³，比值令它们相等（其实就是求权重），随后可得a等于2b，代入原来的等式里，知道4/b+1/b＝1，则b＝5，a＝10，直接可得a²＋b²＝125

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