x¹⁵+y¹⁵=32769

x¹⁵+y¹⁵=32769=3*3*11*331
1、2^15=32768,x=2,y=1
观察法，只有正整数解x=2,y=1或x=1,y=2
2、如3/x,则3/9,3^13/11*331,不可能
x=3a+1，y=3b-1或 x=3a-1，y=3b+1，b<=0
x¹⁵+y¹⁵=(x^5+y^5)(x^10-x^5y^5+y^10)=3*3*11*331
3/x^5+y^5,3/x^10-x^5y^5+y^10
所以：x^5+y^5=3、33、3*331、3*11*331
x^10-x^5y^5+y^10=3*11*331、3*331,33,3
可以逐一验算，比较麻烦
x^10-x^5y^5+y^10=（x^5+y^5）^2-3x^5y^5=a^2-3x^5y^5=b
x^5y^5=(a^2-b)/3
x^5、y^5是一元二次方程z^2-az+(a^2-b)/3=0的解
判别式m=a^2-4(a^2-b)/3=(4b-a^2)/3不是平方数即可！
m1=(4x3x11x331-3^2)/3=1321不是平方数
m2=(4x3*331-33^2)/3=31^2，x^5、y^5=（33+-31）/2=32,·1,从而x=2,y=1
m3=(4x33-3^3*33^2)/3<0
m4=[4x3-(3*11*331)]^2/3<0

x¹⁵+y¹⁵=(x+y)(x²-xy+y²)(x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴)(x⁸+x⁷y-x⁵y³-x⁴y⁴-x³y⁵+xy⁷+y⁸)

题目：解不定方程x¹⁵+y¹⁵=32769解：
一，因为2¹⁵=32768,所以此不定方程的正整数解只有x=1、y=2及x=2、y=1；
二，下面来看看此不定方程的负整数解的情况，这可转化为：求x¹⁵-y¹⁵=32769的正整数解。
1，因为2¹⁵-1¹⁵=32768-1=32767，所以x=2、y=1不是x¹⁵-y¹⁵=32769的正整数解；
2，因为3¹⁵-2¹⁵=14348907-32768≠32769，，所以x=3、y=2不是x¹⁵-y¹⁵=32769的正整数解；
3，由此不难看出：对任意的正整数x＞y,随着x、y的值的增大，x¹⁵-y¹⁵越来越大，即x¹⁵-y¹⁵＞32769，
可知x¹⁵-y¹⁵=32769没有正整数解，也就是x¹⁵+y¹⁵=32769没有负整数解。
综上所述，不定方程x¹⁵+y¹⁵=32769只有解（x，y）=（1，2）、（2，1）.

1、对于x^p+y^p=k,p为2素奇数，需要对k进行素因数分解
x^p+y^p=（x+y）[（x^p+y^p）/(x+y)]=k,逐一计算，可得出结论。特殊的，如k为p整除，不为p^2整除，无解。如k为p^2整除，计算量大为减少！
2、x⁹+y⁹=20195，换元a^3+b^3=20195,利用上述方法即可。

除去一个5次幂，应该无解。

当x, y都是整数, n是大于1的奇数, a是正整数时，如果xⁿ-yⁿ=a＞0，那xⁿ＞yⁿ, 由幂函数单调性可以得到x＞y, x≥y+1
所以xⁿ-yⁿ≥(y+1)ⁿ-yⁿ≥|y|ⁿ-(|y|-1)ⁿ
由二项式定理，当|y|≥1时上面右边≥n(|y|-1)^(n-1)
则 n(|y|-1)^(n-1) ≤a，|y|-1≤(a/n)^(1/(n-1))
这样就只要在|y|≤1+(a/n)^(1/(n-1)) 的范围内检验一下有没有整数解就好了，在这个范围外是没有解的
比如x⁷+y⁷=4783097，相当于x⁷-(-y)⁷=4783097
只要检验 |-y|≤1+(4783097/7)^(1/6)<10.4的范围，也就是|y|≤10就好了，分别把y=-10, -9, …, 9, 10代进 x⁷=4783097-y⁷看一下x是不是整数
这样虽然不是最快做法，但只要不是特别大的a，只要一一检验就可以求出这类方程n为奇数时的所有整数解
n为偶数时如果有整数解，一定有非负整数解，然后也可以找到需要检验的范围

x³+y³=14553

7、8、9、10楼这几道题“数据不大”，可用“估算法”轻松解答（先只求正整数解）。
题目1：x³+y³=27027解：
一，因为27027开立方=30.01，所以，x、y必为≤30的正整数，
二，30³=27000，
三，27027-27000=27，27开立方=3，所以x、y必为≥3的正整数，
四，可得（x,y）=(3，30)、(30，3)。
题目2：x⁵+y⁵=13125解：
一，13125开五次方=6.7，所以，x、y必为≤6的正整数，
二，6⁵=7776，
三，13125-7776=5349，5349开五次方=5.5，所以x、y必为≥6的正整数，
四，可见x=y=6，显然这不是解，所以无解。
题目3：x⁷+y⁷=4783097解：
一，4783097开七次方=9.……，所以，x、y必为≤9的正整数，
二，9⁷=4782969，
三，4783097-4782969=128，128开七次方=2.所以x、y必为≥2的正整数，
四，可得（x,y）=(2，9)、(9，2)
题目4：x⁹+y⁹=20195解：
一，20195开九次方=3.01，所以，x、y必为≤3的正整数，
二，3⁹=19683
三，20195-19683=512，512开九次方=2，所以x、y必为≥2的正整数，
四，可得（x,y）=(2，3)、(3，2)
说明：
一，显然，数据大的，也可以用这方法，但试算次数要多些；
二，显然，指数是偶数时，也可以用这方法；
三，负整数解是什么情况？

17楼，未考虑x>0,y<0情形！

a^2+b^2+c^2=2019

x²+y²+z²=2024

不考虑次序和正负，则如下。