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对给定的整数k，假设(a, b)是满足a²+b²-a-b+1= kab且a≥b, a>1的正整数解中令a+b取最小值的一组
若b>1，设整数a'= kb+1-a，由于a²-(kb+1)a+b²-b+1 = 0
由韦达定理可得a'也满足a'²-(kb+1)a'+b²-b+1 = 0
并且a'= (b²-b+1)/a > 0，a'< b²/a≤a，那(a', b)是方程正整数解中使a+b更小的一组，与假设矛盾
所以b=1，但这时a²-(k+1)a+1=0，可得a整除1，只可能a=1, 又与假设矛盾
所以方程a²+b²-a-b+1= kab且a≥b不存在a>1的正整数解，也就是只可能有(a, b)=(1, 1)的正整数解
若b>1，设整数a'= kb+1-a，由于a²-(kb+1)a+b²-b+1 = 0
由韦达定理可得a'也满足a'²-(kb+1)a'+b²-b+1 = 0
并且a'= (b²-b+1)/a > 0，a'< b²/a≤a，那(a', b)是方程正整数解中使a+b更小的一组，与假设矛盾
所以b=1，但这时a²-(k+1)a+1=0，可得a整除1，只可能a=1, 又与假设矛盾
所以方程a²+b²-a-b+1= kab且a≥b不存在a>1的正整数解，也就是只可能有(a, b)=(1, 1)的正整数解
