如果存在素数p, q使p|q²-q+1, q|p²-p+1，p=q时无解，p≠q时p, q互素，可以推出pq|p²+q²-p-q+1
但是ab|a²+b²-a-b+1的正整数解只有(a, b)=(1, 1)，所以这样的素数p, q是不存在的

对给定的整数k，假设(a, b)是满足a²+b²-a-b+1= kab且a≥b的正整数解中令a取最小值的一组，并且a>1
若b>1，设整数a'= kb+1-a，由于a²-(kb+1)a+b²-b+1 = 0
由韦达定理可得a'也满足a'²-(kb+1)a'+b²-b+1 = 0
并且a'= (b²-b+1)/a > 0，a'< b²/a≤a，那(a', b)是方程正整数解中使a更小的一组，与假设矛盾
所以b=1，但这时a²-(k+1)a+1=0，可得a整除1，只可能a=1, 又与假设矛盾
所以方程a²+b²-a-b+1= kab且a≥b不存在a>1的正整数解，也就是只可能有(a, b)=(1, 1)的正整数解

对给定的整数k，假设(a, b)是满足a²+b²-a-b+1= kab且a≥b, a>1的正整数解中令a+b取最小值的一组
若b>1，设整数a'= kb+1-a，由于a²-(kb+1)a+b²-b+1 = 0
由韦达定理可得a'也满足a'²-(kb+1)a'+b²-b+1 = 0
并且a'= (b²-b+1)/a > 0，a'< b²/a≤a，那(a', b)是方程正整数解中使a+b更小的一组，与假设矛盾
所以b=1，但这时a²-(k+1)a+1=0，可得a整除1，只可能a=1, 又与假设矛盾
所以方程a²+b²-a-b+1= kab且a≥b不存在a>1的正整数解，也就是只可能有(a, b)=(1, 1)的正整数解