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设素数连乘积 (Pi)! = 2*3*5*...*Pi
是否存在极限：lim [ ln(Pi)! ] => Pi ???
实例：
ln2 ≈ 0.693
ln(2*3) ≈ 1.792
ln(2*3*5) ≈ 3.401
ln(2*3*5*7) ≈ 5.347
ln(2*3*5*7*11) ≈ 7.745
ln(2*3*5*7*11*13) ≈ 10.31
ln(2*3*5*7*11*13*17) ≈ 13,14
ln(2*3*5*7*11*...*17*19) ≈ 16,088
ln(2*3*5*7*11*...*19*23) ≈ 19.223
ln(2*3*5*7*11*...*23*29) ≈ 22,590
ln(2*3*5*7*11*...*29*31) ≈ 26.024
ln(2*3*5*7*11*...*31*37) ≈ 29.635
ln(2*3*5*7*11*...*37*41) ≈ 33.349
ln(2*3*5*7*11*...*41*43) ≈ 37.110
ln(2*3*5*7*11*...*43*47) ≈ 40.960
ln(2*3*5*7*11*...*47*53) ≈ 44.931
ln(2*3*5*7*11*...*53*59) ≈ 49.008
ln(2*3*5*7*11*...*59*61) ≈ 53.119
ln(2*3*5*7*11*...*61*67) ≈ 57.324
ln(2*3*5*7*11*...*67*71) ≈ 61.586
ln(2*3*5*7*11*...*71*73) ≈ 65.877
ln(2*3*5*7*11*...*73*79) ≈ 70.246
ln(2*3*5*7*11*...*79*83) ≈ 74.665
ln(2*3*5*7*11*...*83*89) ≈ 79.154
ln(2*3*5*7*11*...*89*97) ≈ 83.729
ln(2*3*5*7*11*...97*101) ≈ 88.344
ln(2*3*5*7*11*...*101*103) ≈ 93.978
ln(2*3*5*7*11*...*103*107) ≈ 97.651
ln(2*3*5*7*11*...*107*109) ≈ 102.343
ln(2*3*5*7*11*...*109*113) ≈ 107.07
ln(2*3*5*7*11*...*113*127) ≈ 111.914
...
...
IP属地:上海1楼2024-05-19 11:29回复
    应该是对的，如果用n#表示不超过n的所有素数之积，那n趋于无穷大时lim (log n#)/ n = 1
    IP属地:北京来自Android客户端2楼2024-05-19 12:47
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      (P_i)! = 2*3*5*...*P_i=P_i# 称为primorial
      其自然对数值为Chebyshev function: θ(i)
      i/θ(i)是非常缓慢地趋近于1的

      哈代数论第22章有证明
      IP属地:上海3楼2024-05-19 14:01
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        可以用素数定理 lim π(x)log x / x = 1 来解释
        不超过n的素数p一共有π(n)个
        log n# = ∑ log p < ∑ log n = π(n) log n
        另外对任意的0<ε<1，用q表示(n^ε, n]之间的素数
        log n# ＞∑ log q ＞[π(n)-π(n^ε)]*log(n^ε) = εlog n*[π(n)-π(n^ε)]
        同时除以 π(n)*log n，得到
        ε(1- π(n^ε)/π(n)) < log n# / π(n)log n < 1
        按照素数定理，对任意0<ε<1 和任意小的正数δ ，都存在N使得n＞N时，π(n^ε)/π(n)<δ 成立
        也就是对任何0<ε<1， lim π(n^ε)/π(n) = 0
        所以左边当n足够大时可以任意接近ε, 而ε 可以任意接近1
        因此 lim log n# / π(n)log n = 1
        再由素数定理可以得到 lim log n# / n = 1
        IP属地:北京来自Android客户端4楼2024-05-19 14:18
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          4楼说得对，但也可以换一个视角来理解题目、
          IP属地:广东5楼2024-05-20 00:03
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            克拉梅尔猜想：相邻素数间隔的上极限满足：
            D = Pn - P(n-1) < (lnPn)^2
            我感觉极限：lim [ ln(Pi)! ] = Pi 是论证此猜想的 必要理论依据 之一。
            4，5楼两位吧主若认同，欢迎一起探讨！
            定义：若【n元相继素数组】对称中心值Z 的函数表达式相同，称为结构相同。
            本人猜测：
            间隔结构相同的【n元相继素数组】：
            Pi, P(i+1), P(i+2), ..., P(i+n-1)；n>1；Z = [ Pi + P(i+n-1) ] / 2 = f(x)
            要么只有一组，要么有无穷多组；二者必居其一。
            显然：若上述猜测可证，则取n=2，孪生素数猜想 不证自明。欢迎参与探讨。
            实例：
            间隔为1结构形如（2，3）的【相邻素数组】有且仅有一组；Z = x + 1/2
            间隔为2结构形如（3，5）的【相邻素数组】有且仅有一组；Z=2x, (3,x)=1
            间隔为2结构形如（5，7）的【相邻素数组】有无穷多组；Z=6x, x>0
            间隔为2+2结构形如（3，5，7）的【相邻素数组】有且仅有一组；
            Z = P(i+1), 2|(Z-1), 3|(Z+1)，
            IP属地:上海6楼2024-05-20 07:03
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