原贴链接:浙大优学的数学竞赛教程错误太严重了吧

谢谢解答！(≧∇≦)我看懂了，本来准备和原贴楼主说一下，但过程怎么消失了

补充了一下，n = 1~31中的奇数时，nⁿ模32的结果是这样子
1^1≡1，3^3≡27，5^5≡21，7^7≡23，9^9≡9，11^11≡19，13^13≡29，15^15≡15，17^17≡17，19^19≡11，21^21≡5，23^23≡7，25^25≡25，27^27≡3，29^29≡13，31^31≡31
当n是大于2的偶数时，nⁿ≡0(mod 32)，另外2²≡4(mod 32)

记S（k)=1¹+2²+3³+…+k^k，其中k为正整数. 为方便起见，我们在此约定，将完全平方数、完全立方数、完全四次方数等等统称为方幂数.
对于什么样的正整数k , S（k)会是一个方幂数，这问题并不容易. 我们能够容易解决的，只是一些特例. 比如我们有下列结果：
命题. 若 k= 32a + m , 其中 a 为非负整数，而 m 是集合 ｛7, 8, 15, 16 , 23, 24 }中的一个元素，则 S（k)不是方幂数.
这命题的证明并不困难. 记F（t)=1¹+3³+5^5…+(2t-1)^(2t-1) ， 其中t为任意正整数.
以32为模，考虑同余.
先做一个简单计算，得出F（4)≡8.
对任意非负整数n 与正奇数b, 有（8n+b)^(8n+b)≡(b^b)(8n+1)，
因此得出（8n+1)^(8n+1)+（8n+3)^(8n+3)+（8n+5)^(8n+5)+（8n+7)^(8n+7)≡（8n+1)F(4)≡8,
得到 F(4n)≡8n (按惯例，F（0）表示0 ) ，F(16n)≡0，F(16n+c)≡F(c).
于是
S（32a +7）≡S（32a +8）≡ 4+F(16a+4)≡4+F(4)≡12,
S（32a +15）≡S（32a +16）≡ 4+F(16a+8)≡4+F(8)≡20,
S（32a +23）≡S（32a +24）≡ 4+F(16a+12)≡4+F(12)≡28.
这就得出了上述命题的证明. （注意，以32为模，余数是12或20或28的正整数是不可能为
方幂数的）.
在上述命题中取a=62 , m = 7 , 就得知S（1991)不是方幂数，这说明楼主链接中的那个例题，题目是正确的，但证明是错误的.

我看到咯，浙大优学的书我扔了，推荐一本新书吧