我发现球极投影和反演变换真的如出一辙，以7楼题设为例，延长AP、BP交大圆于A'、B'，以P为反演中心，任意半径为反演圆（橙色），蓝圆O1反演为蓝色点线圆，绿圆O2反演为绿色点线圆，AA'和BB'因过反演中心P故不变，黑色直线AB反演为过P的黑色圆，红色直线A'B'反演为过P的红色圆，A、B、A'、B'的反点分别为交点X1''、X2''、Y1''、Y2''，切点C反点为黑圆与绿色点线圆切点M，去掉原像，保留反演像为下图

以上为反演后的像（P点替换为T3），T3M∩△Y1''Y2''T3外接圆=N，过N做△Y1''Y2''T3外接圆切线，利用倒角既可证T3M平分角X1''Y1''与X2''Y2''的夹角，又可证△Y1''Y2''T3外接圆N点切线切大绿圆于N，则原题6楼7楼性质得证


做这个球极投影本来是要证明彭赛列闭合定理的，偶然发现当P作为坎迪定理中间点（1/CP-1/DP=1/AP-1/BP），则将非同心内含双圆——绿圆和蓝圆投影为球面上所在平面平行的圆的球面球极点T1在过P的关于线段AB的阿氏圆上，线段X1'X2'投影为球面过球极点T1且与球面绿圆交于X1''，X2''，与球面蓝圆相切的△T1X1''X2''的外接圆，然后以球面绿圆和蓝圆共轴轴线与球面交点T2作为新球极点投影到平面γ的新图形，原球极点T1被投影为交点T3，及反演中心P，投影后图形和原题类似于上面的原像和反演像，只不过球极投影到γ面的双圆是同心圆，那这么看来原题直接反演比较直观